ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ.

2. Параллельность прямых в пространстве.

Из определения параллельности прямых следует, что через две параллельные прямые можно провести плоскость. Эта плоскость единственная. Итак, Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и к тому же только одну.

До трех способов задания плоскости, рассмотренных в предыдущем параграфе, добавим еще один: плоскость можно задавать двумя параллельными прямыми.

Как известно, на плоскости через данную точку, не принадлежащую прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной (аксиома параллельности прямых на плоскости, или аксиома Евклида). Такая же свойство выполняется в пространстве.

Через любую точку пространства, не лежит на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и к тому же только одну.

Подадим свойство параллельных прямых.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то ее вторая прямая пересекает плоскость.

Нам рисунке 367: аllb и а α = М. По указанному свойством прямая b также пересекает плоскость α.

Полезной является признак параллельности прямых: две прямые параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

На рисунке 368: а||b и а||с, тогда b||с.

Пример. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость α. Через конец В и точку М отрезка проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость а в точках В₁ и М₁ соответственно (рис. 369). Найти длину отрезка ММ₁, если ВВ₁ = 6 см и ВМ : МА =1:2.

Решения. 1) Поскольку ВВ₁ || ММ₁, то через прямые ВВ₁ ММ и₁ можно провести некоторую плоскость β.

2) Плоскости α и β пересекаются по прямой В₁Г₁. А α, А ВМ, ВМ β, поэтому А β. Следовательно, А α и β, поэтому точка А принадлежит прямой пересечения плоскостей α и β - прямой В₁Г₁.

3) ABB₁ = AMM₁ (соответственные углы при параллельных прямых ВВ₁ ММ и₁ и секущей АВ), A - общий для ∆АММ₁ и ∆АВВ₁. Поэтому ∆АММ₁ - ∆АВВ₁ (с двумя углами), откуда

4) Поскольку ВМ : МА = 1 : 2, то можно обозначить ВМ = х см, МА = 2х см; тогда Имеем