АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел IV. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, НАЧАЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ

§1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.

3. Размещение.

Пусть дано множество X с n элементов х₁,х₂,х_n-1,х_n.

Размещением из n элементов по m (m n) называют любую упорядоченную подмножество В множества X, причем две такие подмножества считают различными, если они отличаются составом или порядком элементов.

Пример 1. Пусть дано множество Х = {1;2;3}. Тогда по одному можно составить следующие размещения:

(1), (2), (3) - их будет 3;

по два можно составить такие размещение:

(1;2), (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2) - их будет 6;

по три можно составить такие размещение:

(1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1) - их будет 6.

Количество размещений из n элементов по m обозначают А^m_n. Можно записать

Формула для вычисления:

Эту формулу можно запомнить за помощью такого правила:

А^m_n является произведением т натуральных чисел, начиная с n, взятых в порядке убывания.

Например, А⁴₇ = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840.

А^m_n можно вычислять еще и по такой формуле:

Пример 2. Расписание на день содержит 6 уроков. Определить количество всех возможных расписаний при выборе из 9 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит в расписании дважды.

Решения. Понятно, что таких раскладов будет

А⁶₉ = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 60480.

Пример 3. Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, которые используют для записи числителя и знаменателя дроби?

Решения. Дробей, в которых числитель не равен знаменателе можно составить А²₈ штук, но только половина из них правильные. Следовательно, искомое количество дробей