УРОК 33

Тема. Корень n-ой степени. Арифметический корень n-ой степени и его свойства

 

Цель урока. Повторить сведения о квадратный корень. Формирование понятий корень n-й степени и арифметический корень n-й степени. Изучение свойств корней n-й степени.

И. Анализ контрольной работы по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»

 

II. Повторение сведений о квадратный корень

Повторить сведения о квадратный корень можно в виде фронтальной беседы с использованием таблицы 13.

Вопрос к классу

1. Что называется квадратным корнем из числа?

2. Чему равен квадратный корень из чисел: а) 25; б)16; в) 100; г) 0; д) -10?

3. Почему квадратный корень из отрицательного числа не существует?

4. Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?

5. Выполните упражнение № 1 к разделу III.

6. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

7. Выполнение упражнения № 5 к разделу III.

8. Выполнение упражнения № 2 к разделу III.

Квадратные корни
Определение квадратного корня из числа а:	Определение арифметического квадратного корня из числа а:
число, квадрат которого равен а.
Корень уравнения: х2 = а.	Тождества = а, а > 0.  = |a|, aR.     Основные свойства , , . , , . , , kN. ,

 

III. Восприятие и осознание нового материала (таблица 14)

Корнем n-ой степени из действительного числа а называется число, n-и степень которого равняется а.

Например: корень третьей степени из числа 8 равен 2, так как 23 = 8. Корень четвертой степени из числа 81 являются числа 3 и -3, ибо 34 = 81, (-3)4 = 81.

Согласно данного определения, корень п-ой степени - это корень уравнения хn = а. Число корней этого уравнения зависит от n и а.

Если n - четное, т.е. n = 2k, kN, то уравнение х2k = а имеет два корня, если а > 0; один корень, если а = 0; не имеет корней, если а 0.

Если n - нечетное, т.е. n = 2k + 1, kN, то уравнение х2k+1 = а всегда имеет только один корень.

 

Таблица 14

Корень n-гo степень
Определение корня n-й степени из числа а: число, n -и степень которого равняется а. Корень уравнения: х2 = а	Определение арифметического корня n-й степени из числа а:
	, ,..., - существуют для аR. Если а 0, то = - . , , ... , - существуют для а 0.   Тождества Если существует, то в = а . , аR , аR.   Основные свойства = · ,, . , , .
	, , .

 

Неотъемлемый корень уравнения хn = а называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

Арифметическим корнем n-ой степени из неотъемлемого числа а называется такое неотрицательное число, n-и степень которого равняется а.

Арифметический корень п-ой степени из числа а обозначают так: . Число n называют показателем корня, число а - підкореневим числом (выражением).

Если n = 2, то вместо пишут и называют арифметическим квадратным корнем.

Арифметический корень третьей степени называют кубическим корнем.

В тех случаях, когда понятно, что речь идет о арифметический корень n-ой степени, коротко говорят «корень n-ой степени».

Пример. Найдем значение: а) ; б) ; в) ; г) .

а) = 2, поскольку 23 = 8 и 2 > 0;

б) = 3, так как 34 = 81 и 3 > 0;

в) = 1, поскольку 15 = 1 и 1 > 0;

г) = 0, поскольку 0100 = 0.

Корень парного степени существует только из неотрицательных чисел, следовательно, выражение имеет смысл, если и приобретает неотрицательных значений.

Корень нечетного степени существует из любого действительного числа и к тому же только один.

Для корней нечетного степени справедливо равенство = - .

Действительно .

Равенство = - позволяет выразить корень нечетного степени из отрицательного числа через арифметический корень того же степень.

 

Пример. Найдем значение: а) ; б) ; в) .

a) = - = -2; б) = - = -2 ; в) = - = -3 .

Следовательно, выражение имеет смысл для любого а R и может приобретать любые значения.

 

Выполнение упражнений

1. Упражнение № 7 к разделу III.

2. Решите уравнение:

а) х3 = 64; б) х5 = - ; в) х4 = 81; г) х6 = - 64; д) х3 = 15; е) х4 = 15.

Ответ: а) 4; б) - ; в) 3; - 3; г) нет корней; д) ; е) ; - .

3. Найдите область определения функций:

а) у =; б) у = ; в) у = ; г) у = ; д) у = +; е) у = .

Ответ: а) х 2; б) хR; в) х 3; г) х ≠ 0; д) 0; е) не определена.

Непосредственно из определения арифметического корня n-ой степени следует:

 

1. Если существует, то ()n = а . 2. 3.

 

Мы вспомнили свойства квадратного корня. Аналогичные свойства имеют и корни n-ой степени.

Свойство 1. Для неотрицательных чисел а и b произведение корней n-ой степени из чисел a и b равна корню n-й степени из их произведения: ·=.

Свойство 2. Для неотъемлемого числа а и положительного числа b доля корней n-ой степени из числа а и b. равно корню n-й степени из их доли: .

Свойство 3. Любая целая степень k корня n-ой степени из неотъемлемого числа а равна корню n-ой степени из степени k числа а: .

Свойство 4. Чтобы извлечь корень из корня из неотъемлемого числа можно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить без изменения .

Свойство 5. Значение корня из степени неотъемлемого числа не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число: .

Свойства 1, 2 доказываются аналогично тому, как это сделано для квадратных корней. Докажем свойства 3-5:

3) Так как а 0, то левая и правая части формулы неотъемлемые. Поэтому для доказательства этого равенства достаточно удостовериться в том, что n-ая степень левой части равна аk. В соответствии со свойствами степеней с целым показателем имеем:

4) При а > О левая и правая части неотрицательны. Тогда . Следовательно, .

5) Согласно определению корня - это такое неотрицательное число, n-и степень которого равняется аmp, то есть достаточно доказать .

Имеем .

Выполнение упражнений

1. Найдите значения выражений:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а) 1,5; б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д) .

2. Вычислите:

а) ·; б) ·; в) ; г) .

Ответ: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.

3. Найдите корень из степени:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 125; б) 0,09; в) 0,72; г) 16.

4. Упростите выражения:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) = ; б) ; в) ; г) .

 

IV. Итог проведения урока

 

V. Домашнее задание

Раздел III § 1 (1-2). Вопросы и задания для повторения раздела III. № 1-12, 17-24. Упражнения № 14 (1, 2, 4-6), № 15.