Урок № 32

Тема. Признаки подобия прямоугольных треугольников. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Цель: сформулировать признак подобия прямоугольных треугольников с острым углом, на основе которой доказать метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Добиться усвоения учащимися содержания признаки подобия прямоугольных треугольников и метрических соотношений в прямоугольном треугольнике га их доведения.

Сформировать первичные умения воспроизводить изученные утверждение, записывать метрические соотношения между отрезками прямоугольного треугольника по условию задачи, а также выполнять вычисления неизвестных отрезков прямоугольного треугольника, используя записи соответствующих метрических соотношений.

Тип урока: усвоение умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект «Подобие прямоугольных треугольников».

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Правильность выполнения задач домашней работы проверяется во время устной фронтальной работы с рисунками к задачам, выполненными на доске заранее.

III. Формулировка цели и задач урока

Учитель напоминает ученикам о том, что в геометрии выделяют различные виды треугольников (по сторонами или углами). Поскольку в последнее время на уроках были изучены общие определения и признаки подобия треугольников, то возникает вопрос о возможной трансформации изученных утверждений для отдельных видов треугольников (кстати, некоторые из этих случаев было уже рассмотреть - см. признаки подобия равносторонних и равнобедренных треугольников).

Среди всех видов треугольников (по углам) выделяются треугольники, о которых можно сказать, что:

· один из углов всегда равна сумме двух других;

· они не могут быть равносторонними, но могут быть равнобедренного;

· для того чтобы определить остальных углов этого треугольника, достаточно знать только один из его меньших углов.

(Понятно, что речь идет о прямоугольные треугольники.)

Итак, цель урока - формулировка признаки подобия прямоугольных треугольника и исследование сферы ее практического применения.

IV. Актуализация опорных знаний

С целью успешного усвоения учащимися признаки подобия прямоугольных треугольников, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, а также их доведения, ученикам следует активизировать такие знания и умения: признак подобия треугольников по двум углам; определение прямоугольного треугольника и свойства острых углов прямоугольного треугольника; применение понятия о перпендикуляр к прямой, наклонная и проекция наклонной на данную прямую; основные свойства пропорции.

Выполнение устных упражнений

1. Докажите, что ΔАВО ~ ΔDCO , если 1 = 2 (рис. 1).

2. Докажите, что ΔАВС ~ ΔCDE , если AB || CD, 1 = 2 (рис. 2).

3. В каждом из приведенных случаев вычислите меру угла х (рис. 3).

4. Сделайте рисунок, на котором один и тот же отрезок был бы одновременно и перпендикуляром и наклонной.

5. Если 7а = 9b, то = ?

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Признак подобия прямоугольных треугольников (с острым углом).

2. Представление о содержании понятия среднее пропорциональное число между двумя числами.

3. Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике): формулировка и доказательство.

@ Признаки подобия прямоугольных треугольников, а также метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, непосредственно вытекающим из признаки подобия прямоугольных треугольников с острым углом, традиционно изучаются в теме «Подобие треугольников» (в некоторых пособиях метрические соотношения называют средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике). Содержание соответствующего параграфа нового учебника почти полностью повторяет содержание соответствующих разделов традиционного учебника геометрии. Поэтому изучение материала урока проводится по традиционной схеме.

Схема

Некоторые изменения, внесенные авторами нового учебника к содержанию материала относительно подобия прямоугольных треугольников, является дополнительной информацией.

Так, дополнительно авторы учебника предлагают изучить:

Признаки подобия прямоугольных треугольников по двум катетами и гипотенузой и катетом.

1. Сформулируйте и докажите признак подобия прямоугольных треугольников с двумя катетами.

2. Сформулируйте и докажите признак подобия прямоугольных треугольников с гипотенузой и катетом.

Содержание понятие о среднее пропорциональное число между двумя данными числами (для лучшего понимания учениками содержания теоремы, а потому для лучшего запоминания формулировки теоремы).

А сами метрические соотношения в прямоугольном треугольнике авторы учебника записали в виде теоремы (ранее эти соотношения рассматривали как некоторые соотношения в прямоугольном треугольнике). Изменение статуса этих утверждений, без изменения их содержания, имеет чисто психологическое значение - знание формулировки теоремы и умение ее применять является обязательной программной требованием.

Материала, представленного в учебнике, автор пособия предлагает добавить один из полезных следствий из метрических соотношений, а именно: если а, b - катеты прямоугольного треугольника, с - его гипотенуза, a hc - высота, проведенная к гипотенузы, то . (Доведение с этого следствия можно провести как решение соответствующей дополнительной задачи.)

Поскольку учебный материал не является сложным, то предлагаем учащимся самостоятельную работу по его изучению (по учебнику).

V. Формирование первичных умений

Понимание признаки подобия прямоугольных треугольников с острым углом достигается во время выполнения задания. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если:

а) они имеют общий угол;

б) они имеют общий острый угол;

в) один из них имеет угол 20°, а другой - угол 70°;

г) один из них имеет угол 50°, а катет второго вдвое меньше гипотенузы?

Формирование первичных умений применять изученную признак происходит на этапе решения учащимися упражнений.

Выполнение устных упражнений

1. На рис. 4 найдите пары подобных треугольников. Свои соображения обоснуйте. Запишите пропорциональность соответствующих сторон.

2. На рисунке 5 найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

На применение подобия прямоугольных треугольников учащиеся решают письменные упражнения.

Выполнение письменных упражнений

Наблюдатель, находящийся в точке А, видит конец шеста В и верхнюю точку башни D, причем точки А, В и D расположены на одной прямой (рис. 6). Определите высоту башни, если ВС= 4 м, АС = 6 м, АЕ = 90 м.

VI. Формирование навыков и умений

Формированию умений записывать и использовать метрические соотношения будет способствовать выполнение устных упражнений.

Выполнение устных упражнений

Запишите метрические соотношения для изображенных на рис. 7 прямоугольных треугольников:

Выполнение письменных упражнений

1. В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) проведена высоту CD (рис. 8). Найдите:

а) CD, если AD = 4 см, DB = 25 см;

б) АС и ВС, если АВ = 50 см, AD = 18см.

2. Докажите, что проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника относятся как квадраты катетов: .

@ При доказательстве подобия треугольников требуем от учеников выполнения соображений по изученной на предыдущих уроках схеме с поправкой на содержание признаки. (Рассмотрим треугольники... и ... У них углы... и... - прямые, углы... и... - равны, следовательно, треугольники... и... подобные по острым углом).

Решая задачи на применение метрических соотношений в прямоугольном треугольнике, следует требовать от учеников сначала воспроизведения словесного формулирования, а уже потом - исполнение соответствующих им символических записей.

VII. Итоги урока

Правильные записи сделаны в соответствии с рис. 9? Если нет, исправьте ошибку.

1) АМ + ВМ = АВ;

2) ВС2 = МВ · МА;

3) CM = AM · MB;

4) ;

5) АС2 = АМ · АВ.

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание и доказательства признаков подобия прямоугольных треугольников.

Решить задачи.

1. Для построения четвертого пропорционального отрезка х = ученик предложил построить прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с и провести в нем высоту hc, которая будет равняться х. Второй ученик утверждает, что этот способ неправильный. Кто из учеников прав?

2. На рисунке 10 найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

3. Высота дерева равна 9,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,8 м, равна 2,7 м. Найдите длину тени дерева.

4. Найдите периметр прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки длиной 4,5 см и 8 см.