Урок 32

Тема. Свойство точки, равноудаленной от вершин в многоугольнике

Цель урока: формирование знаний о свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника, и умений применять это свойство к решению задач.

Оборудование: стереометрический набор, схема «Круг, описанный вокруг многоугольника».

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Проверить решение задачи № 24 по записям (с пробелами), сделанными на доске до начала урока.

Решение задачи № 24 Пусть АВα (рис. 166).

1) ВС = 40 см, BD =...; пусть AD = х см, тогда АС=.... С ΔАВD: АВ2 = х2 -122 = х2 - 144. Из ΔАВС АВ2.... Тогда х2 - 144 = (х + 26)2 - 402; 52х=...; х =15. Следовательно, AD=..., AC = 41 см.

2) BD=..., BC=7 см; пусть АD=...,тогда AC = 2х см.

С ΔАВD AB2=.... Из ΔАВС АВ2 = 4х2 - 49.

Тогда х2 - 1 = ...; 3х2 = ...; х2 = 16. Отсюда х = ...; следовательно, AD =..., AC = 2·4 = 8 (см).

Ответ. 1) 15 см и 41 см; 2) 4 см и 8 см.

2. Математический диктант.

МО - перпендикуляр к плоскости ОАВ; AOB = 90° (рис. 167); МА и МВ - наклонные.

Вариант 1 - МО = 1 см, ОА = 3 см, MB = см;

вариант 2 - МЕ = 1 см, ОВ = 4 см, МА = см. Пользуясь рисунком, найдите:

1) длину неизвестной наклонной; (2 балла)

2) длину неизвестной проекции наклонной; (2 балла)

3) длину отрезка АВ; (2 балла)

4) расстояние от точки В до середины отрезка АВ; (2 балла)

5) расстояние от точки М до середины отрезка АВ; (2 балла)

6) расстояние от точки А до плоскости ЯЗЫКОВ. (2 балла)

Ответ. Вариант 1.1) см; 2) см; 3) см; 4) см; 5) см; 6) 3 см.

Вариант 2. 1) см; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 2,5 см; 5) см; 6) 3 см.

II. Восприятие и осознание нового материала

Свойство точки, равноудаленной от вершины многоугольника

Теорема 1.

Если через центр окружности, описанной вокруг многоугольника, проведено прямую, перпендикулярную к плоскости многоугольника, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

Доведение

Пусть ABCD - четырехугольник, вокруг которого описана окружность с центром в точке О, и OS(ABC). Докажем, что SA = SB = SC = SD (рис. 168).

ΔASO = ΔBSO = ΔCSO = ΔDSO (за двумя катетами: SO - общая, АО = BO = CO = DO).

Из равенства треугольников следует, что SA = SB = SC = SD.

Теорема 2.

Если некоторая точка равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника, совпадает с центром окружности, описанной вокруг многоугольника.

Доведение

Пусть ABCD - данный четырехугольник, для точки S пространства SA = SB = SC = SD и SOАВС. Докажем, что точка О - центр окружности, описанной вокруг ABCD (рис. 168). ΔASO = ΔBSО = ΔCSO = ΔDSO (по гипотенузой и катетом: SO - совместный, AS = BS = CS = DS - по условию). Из равенства треугольников следует, что АО = BO = CO = DO, т.е. точка О - центр окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD.

Далее следует напомнить формулы для нахождения радиуса круга, описанного вокруг некоторых многоугольников, с помощью данной настенной таблицы.

Решение задач

1. ABC = 90°; МА = MB = МС (рис. 169). Опустите из точки М перпендикуляр на плоскость АВС.

2. ABCD - квадрат, АВ = 4 см, МА = MB = MC = MD = 5 см (рис. 170). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

3. АВ = ВС = АС = 5 см; МА = MB = MC = 13 см (рис. 171). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

4. ABCD - квадрат, SO(ABC), SO = 2см, АВ = 4 см (рис. 172). Найдите расстояние от точки S до вершин квадрата.

5. ΔАВС - правильный; точка О - центр треугольника; АВ = 3см; SO(АВС); SO = см (рис. 173). Найдите расстояние от точки 5 до вершин треугольника АВС.

6. Задача 21 из учебника (с. 35).

7. Задача 20* из учебника (с. 35).

III. Домашнее задание

Задачи № 6, 17-19 (с. 34-35).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Какое свойство имеют точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенном к плоскости многоугольника через центр окружности, описанной вокруг многоугольника?

2) Где находятся точки, равноудаленные от вершин некоторого многоугольника?

3) Через центр О правильного шестиугольника ABCDEF проведем перпендикуляр SO к плоскости АВС (рис. 174). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) расстояния от точки S до вершин шестиугольника ABCDEF разные;

б) угол OAS равен углу OCS;

в) если ОА = 1 cm, SO = 1 см, то SA = cm;

г) если SO = OB, то OSB = 60°.

4) Расстояния от точки S до всех вершин прямоугольника ABCD равны, точка О - точка пересечения диагоналей АС и BD прямоугольника ABCD. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) прямая SO перпендикулярна к прямой АС;

б) прямая SO не перпендикулярна к прямой BD;

в) прямая SO перпендикулярна к плоскости АВС;

г) если АВ = 6 см, ВС = 8 см и AS = 13 см, то SO = 12 см.