Математика
Все предметы
ВНО 2016
Конспекты уроков
Опорные конспекты
Учебники PDF
Учебники онлайн
Библиотека PDF
Словари
Справочник школьника
Мастер-класс для школьника

МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ

ВНЕШНЕЕ НЕЗАВИСИМОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел III. ФУНКЦИЯ

§21. НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ.

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

 

В курсе математического анализа доказывается теорема Вейєритрасса: непрерывная на отрезке [a;b] функция имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение.

Эту теорему следует понимать так, что для непрерывной на [a;b] функции существуют точки отрезка [a;b] в которых f(x) приобретает наибольшего и наименьшего на [a;b] значения. Если функция у= = f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и имеет на этом отрезке конечное число критических точек, то она приобретает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка.

Исходя из приведенного, можно предложить следующую схему нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у = f(x) на промежутке [a;b]:

1) Проверяем вхождение заданного промежутка в область определения функции.

2) Находим производную f '(x).

3) Находим критические точки (внутренние точки области определения f(x), в которых f '(x) не существует и решить уравнение f ‘(x) = 0.

4) Выбираем критические точки, принадлежат промежутку [a;b].

5) Вычисляем значение функции в выбранных критических точках и в точках а и b.

6) Сравниваем полученные значение и находим наибольшее и наименьшее значения функции у = f(x) на промежутке [a;b].

7) Ответ.

Пример. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [0;3].

Решения.

1) D(f) = R, рассматриваемый промежуток принадлежит области определения.

3) Производная существует во всех точках; решение уравнения х2 + х - 2 = 0, то х1 = 1; х2 = -2 - критические точки.

6) Следовательно, наибольшее значение функции f(x) на заданном промежутке f(3) = 46, а наименьшее - f(1) = -6.

7) Это записывают следующим образом: