АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Раздел III. ФУНКЦИЯ
§20. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЮ ИХ ГРАФИКОВ.
Можно предложить следующую схему
исследование функции у = f(х) и построения ЕЕ графика:
1) Находим область определения
функции у = f(x).
2) Исследуем функцию на четность,
нечетность и периодичность (для тригонометрических функций).
3) Находим точки пересечения функции
у = f(x) с осями координат (если их можно найти).
4) Находим производную f '(x) и критические точки.
5) Находим промежутки возрастания,
убывания, точки экстремума, экстремумы функций.
6) Исследуем поведение функции на
концам промежутков области определения (если можно исследовать).
7) Используя полученные
результаты, строим график функции или его эскиз.
Пример 1. Исследовать функцию 
и
построить ее график.
Решения. 1) Область определения: D(f) = R.
функция
четная, ее график симметричен относительно оси ординат.
3) Точка пересечения с осью Оу: 
Точки пересечения с осью Оу: 
(решите уравнение самостоятельно).
Итак, имеем точки пересечения с осями
координат: (0;-4), (2;0), (-2;0).
критические
точки х1 = 0; х2= 1;
х3 = -1.
5) Составляем таблицу, в которой
обозначаем промежутки возрастания, промежутки убывания и критические точки:
|
x
|
(-∞;-1)
|
-1
|
(-1;0)
|
0
|
(0;1)
|
1
|
(1;+∞)
|
|
f ‘(х)
|
-
|
0
|
+
|
0
|
-
|
0
|
+
|
|
f(x)
|
|
-4,5
|
|
-4
|
|
-4,5
|
|
|
Вывод
|
Функция спадает
|
min
|
Функция возрастает
|
mах
|
Функция спадает
|
mиn
|
Функция возрастает
|
В таблице приведены также выводы
об критические точки (являются ли они точками точками максимума или минимума).
6) Поскольку D(f) = R, то нет концов области определения.
7) Строим график функции
используя результаты исследования - рисунок 105.
Построение графика функций (или его
эскиза) помогает при решении некоторых задач, связанных с нахождением
корней уравнения (их количества, ближайших значений и т.п.).
Пример 2. 1)
Исследуйте функцию
f(х) = (х
- 3)
и
постройте эскиз
ее графика. 2) Сколько корней имеет уравнение (х
- 3) = а в зависимости от значения
параметра а?
Решение задачи 1.
1) D(f) = [0;+∞).
2) Функция ни четная, ни нечетная,
поскольку ее область определения не симметрична относительно нуля.
3) Точка пересечения с осью Оу: х = 0; у = 0. Точки пересечения с осью Ох: у = 0; (х - 3) = 0 ; х1 = 3; х2 = 0.
х = 1 - критическая точка.
5) Составляем таблицу:
|
X
|
0
|
(0;1)
|
1
|
(1;+∞)
|
|
f ‘(х)
|
не существует
|
-
|
+
|
+
|
|
f(x)
|
0
|
|
-2
|
|
|
Вывод
|
Точка принадлежит графику
|
Функция спадает
|
mиn
|
Функция возрастает
|
6) Точка (0;0) принадлежит графику
функции.
7) Эскиз графика показано на рисунке
106.
Решение задачи 2. Будем
решать уравнение (х - 3)
= а
графически. Для этого
строим графики функций f(х) = (х -
3) и в = а, а
- число (рис. 106а). Для различных значений а количество корней уравнения будет
различной.
Если а = -2, то графики
пересекаются в одной точке, а потому рассматриваемое уравнение имеет один корень. Если
-2 а ≤ 0, то графики пересекаются в двух
точках, а потому рассматриваемое уравнение имеет два корня. Если же а > 0, то
графики пересекаются в одной точке, и уравнение имеет один корень.
Окончательно имеем: если а = -2 или а > 0, то уравнение имеет
один корень, если -2 а ≤ 0, то уравнение имеет два корня.