Математика
Все предметы
ВНО 2016
Конспекты уроков
Опорные конспекты
Учебники PDF
Учебники онлайн
Библиотека PDF
Словари
Справочник школьника
Мастер-класс для школьника

МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ

ВНЕШНЕЕ НЕЗАВИСИМОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел III. ФУНКЦИЯ

§19. НАХОЖДЕНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

2. Нахождение точек экстремума и экстремумов функции.

 

Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Достаточное условие существования экстремума. Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и 1) f '(x) > 0 на интервале (а; х0) и f '(х) 0 на интервале (х0b), то x0 является точкой максимума функции f(х); 2) f '(x) 0 на интервале (а;х0) и f ‘(x) > 0 на интервале (х0b), то x0 является точкой минимума функции f(х).

Удобно пользоваться следующим формулировкой этой теоремы:

если в точке x0 производная меняет знак с «+» на «-» (двигаясь в направлении возрастания х), то х0 - точка максимума (рис. 100), а если с «-» на «+», то х0 - точка минимума (рис. 101).

 

 

Для исследования у = f(x) на точки экстремума целесообразно выполнять следующую схему:

1) Находим область определения функции у = f '(х).

2) Находим производную f '(x).

3) Находим критические точки (внутренние точки области определения, в которых f '(x) не существует и решение уравнения f '(х) = 0.

4) Обозначаем найденные точки на области определения функции у = f(х) и находим знак производной f '(х) в каждом из этих промежутков (для этого достаточно определить знак производной f'(x) в какой-то одной «пробной» точке промежутке.

5) Если в критической точке х0 производная меняет знак с «+» на «-», то х0= хmах (рис. 100). Если же меняет знак с «-» на «+», то х0 = хmin (рис. 101). Если же изменения знаков нет (рис. 102), то х0 не является точкой экстремума.

6) Делаем вывод (ответ).

Пример 1. Найдите точки экстремума и экстремум функции

Решения.

3) Производная существует во всех точках области определения у = 0; х1 = -1; х2 = -3 - критические точки.

4) - 5) (рис. 103, пробные точки выберите самостоятельно).

 

 

Пример 2. Найдите точки экстремума и экстремумы функции

Решения.

3) Производная существует во всех точках области определения.

х1 = 0, х2 = -2 - критические точки.

4) - 5) (рис. 104, пробные точки выберите самостоятельно).