Нахождение точек экстремума и экстремумов функции - НАХОЖДЕНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ - ФУНКЦИЯ - АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА - МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС. ПОДГОТОВКА К ВНЕШНЕМУ НЕЗАВИСИМОМУ ОЦЕНИВАНИЮ И ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

§19. НАХОЖДЕНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

2. Нахождение точек экстремума и экстремумов функции.

Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Достаточное условие существования экстремума. Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ и 1) f '(x) > 0 на интервале (а; х₀) и f '(х) 0 на интервале (х₀b), то x₀ является точкой максимума функции f(х); 2) f '(x) 0 на интервале (а;х₀) и f ‘(x) > 0 на интервале (х₀b), то x₀ является точкой минимума функции f(х).

Удобно пользоваться следующим формулировкой этой теоремы:

если в точке x₀ производная меняет знак с «+» на «-» (двигаясь в направлении возрастания х), то х₀ - точка максимума (рис. 100), а если с «-» на «+», то х₀ - точка минимума (рис. 101).

Для исследования у = f(x) на точки экстремума целесообразно выполнять следующую схему:

1) Находим область определения функции у = f '(х).

2) Находим производную f '(x).

3) Находим критические точки (внутренние точки области определения, в которых f '(x) не существует и решение уравнения f '(х) = 0.

4) Обозначаем найденные точки на области определения функции у = f(х) и находим знак производной f '(х) в каждом из этих промежутков (для этого достаточно определить знак производной f'(x) в какой-то одной «пробной» точке промежутке.

5) Если в критической точке х₀ производная меняет знак с «+» на «-», то х₀= х_m_ах (рис. 100). Если же меняет знак с «-» на «+», то х₀ = х_min (рис. 101). Если же изменения знаков нет (рис. 102), то х₀ не является точкой экстремума.

6) Делаем вывод (ответ).

Пример 1. Найдите точки экстремума и экстремум функции