АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел III. ФУНКЦИЯ

§19. НАХОЖДЕНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

1. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Нахождение промежутков монотонности функции.

Промежутки на которых функция возрастает или приходит еще называют промежутками монотонности.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Если f '(x) > 0 в каждой точке интервала (а;b), то функция у = f(x) возрастает на (а;b), если f '(x) 0 в каждой точке интервала (а;b), то функция у = f(x) убывает на (а;b).

Важным является также понятие критической точки. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю.

Для исследования функции у = f(x) на рост, падение, целесообразно использовать следующую схему:

1) Находим область определения функции f '(x).

2) Находим производную f '(x).

3) Находим критические точки (внутренние точки области определения, в которых f ‘(x) не существует и решение уравнения f ‘(x) = 0.

4) Обозначаем найденные точки на области определения функции у = f (х) и находим знак производной f '(x) в каждом из этих промежутков (для этого достаточно определить знак производной f'(x) в какой-то одной «пробной» точке промежутка).

5) Делаем вывод (ответ).

Заметим, что если функция у = f (х) непрерывна в каком-нибудь конце промежутка роста или убывание, то эту точку можно присоединять к рассматриваемому промежутку.

На схемах будем использовать знак для обозначение роста на промежутке и знак для обозначения убывания функции на промежутке.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности функции

Решения.

3) Производная существует во всех точках области определения f '(x) = 0, тогда - критические точки.

4) Определим знак производной в каждом из полученных интервалов (-∞;-3], [-3;0), (0;3], [3;+∞).

(рис. 97).

5) Функция возрастает на промежутках (-∞;-3] и [3;+∞), убывает на промежутках [- 3;0), (0;3].

Пример 2. Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции f(x) = х ln х.

Решения. 1) D(f) = (0;+∞).

3) Производная существует во всех точках области определения - критическая точка;

(рис. 98).

5) Функция убывает на промежутке (0;1/e], возрастает на промежутке [1/e;+∞).

Пример 3. Сколько решений имеет уравнение х⁵ + х + 1 = 0?

Решения. Рассмотрим функцию Поскольку для всех значений х, то функция f(x) возрастает при всех значениях х. Поскольку f(-1) = -1 - 1 + 1 = -1, а f(0) = 1, то на промежутке (-1;0) есть корень уравнения x⁵ + x + 1 = 0 (см. иллюстрацию на промежутка 99). Поскольку функция f(x) = х⁵ + х + 1 - возрастает на (-∞;+∞), тем больше уравнение х⁵ + х+ + 1 = 0 корней нет.

Следовательно, уравнение х⁵ + х + 1 = 0 имеет единственное решение.