АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел III. ФУНКЦИЯ

§17. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

5. Производная сложной функции.

Пример 1. Пусть необходимо вычислить значение функции в точке х = 4. Естественно это делают следующим образом:

1) сначала вычисляют значение выражения 2х + 1, если х = 4, а именно 2 ∙ 4 + 1 = 9;

2) затем из полученного числа 9 получают арифметический квадратный корень, имеем = 3. Следовательно, f(9) = 3.

Если обозначить u(х) = 2х + 1, а g(u) = , то можно записать f(х) = g(u(x)).

Говорят, что f(x) является составной функцией u(х) - внутренняя функция f (или промежуточный аргумент).

Далее представим правила исчисления производной сложной функции.

Если функция u(х) имеет производную в точке х, а функция f(u) имеет производную в точке u = u(х), то составленная функция у = f(u(x)) имеет производную в точке х, причем

Пример 2. Найдите производную функции

Решения. Имеем составленную функцию

Тогда

Пример 3. Найдите у' = π/4, если у = sin² x.

Розв'язання. у = sin² х, т.е. у = u², где u = sin x. Тогда

Имеем

Пример 4. Найдите производную функции

Решения. Найдем сначала производные функции i

Тогда

Тогда

Следовательно,