Часть 1 МЕХАНИКА

Глава 2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2.19. Волновой процесс. Уравнение волны. Энергия волны

Колебательная система может отдавать энергию во внешнюю среду. Это происходит вследствие того, что частицы среды участвуют в колебательном процессе. Каждое возмущение, возникающее в определенном участке среды, постепенно будет распространяться, захватывая частицы, размещены все дальше от начального возмущения.

Частица среды, что лежит на расстоянии х от места первоначального возмущения, начнет колебаться лишь тогда, когда к нее дойдет колебательный процесс, распространяющийся в среде. Обозначим скорость распространение колебательного процесса через u. Он дойдет до фиксированной частицы за промежуток времени

Если колебания описываются уравнением то колебания определенной частицы будут проходить по тому же синусоидальному закону, но с запаздыванием на время τ:

где а - амплитуда; φ₀ - начальная фаза колебаний.

Выражение есть уравнение плоской бегущей волны, что распространяется в дополнительном направлении оси х.

Рассмотрим теперь распределение смещений в пространстве в определенный момент времени (t = const). Возьмем этот момент за начальный, то есть когда t = 0. Тогда

где

Поскольку Т - период колебаний, а u - скорость распространения их, то произведение uТ определяет расстояние, на которое распространится колебательный процесс за время одного периода. Это расстояние называют длиной волны. Две частицы, отделенные друг от друга интервалом λ = uТ, колеблются в одной фазе. Каждая из них проходит через нулевое положение одновременно со второй частицей. Поэтому длину волны можно рассматривать также как расстояние между двумя ближайшими точками среды, для которых разность начальных фаз колебаний составляет 2π.

Величину k = - называют волновым числом.

Геометрическое место точек среды, которых колебания достигают в фиксированный момент времени t, называют фронтом волны. Он отделяет ту часть пространства, которая втянута в волновой процесс, от той, куда колебания еще не распространились.

Кроме понятие фронта волны используют понятие волновой поверхности. Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе. В отличие от фронта волны в каждый определенный момент времени существует бесконечное множество волновых поверхностей, поскольку их можно проводить через любую точку пространства, который охвачено волновым процессом. Понятно, что фронт волны надо рассматривать как частный случай волновой поверхности. В зависимости от конфигурации источника колебаний и свойств среды, в которой распространяется волновой процесс, волновые поверхности, а следовательно, и фронт волны могут набирать определенной формы - формы сферы, плоскости или даже более сложной формы, которая в общем случае может меняться с временем. Исходя из формы фронта волны, различают сферические, плоские, эллиптические и другие волны. Сферическая волна возникает, например, в однородном и изотропном среде при наличии в нем точечного источника колебаний. В таком случае волновые поверхности и фронт волны будут иметь форму сферы. Условие реализации волновых поверхностей (фронта волны как отдельного случая волновой поверхности) записывают так:

где φ₀ - начальная фаза колебаний.

Разным значением фазы волны φ_i будут соответствовать различные волновые поверхности. Из формулы (2.75) следует, что фронт волны при этом перемещается со скоростью

Поскольку с этой же скоростью перемещается также поверхность постоянной фазы, то ее называют фазовой скоростью.

При распространении волнового процесса частицы среды не увлекаются движущейся волной; они осуществляют только колебательные движения вокруг положения равновесия. Скорость волны u - это не скорость поступательного движения материальных частиц, а скорость распространения импульса, что вызывает смещение частиц. Поскольку прохождение волны сопровождается колебаниями частиц среды, то вместе с волной распространяется в пространстве и энергия колебаний.

Представим себе элемент упругого среды с объемом V, в котором распространяется волна с амплитудой а и частотой ω. Можно показать, что среднее значение энергии, которую приносит волна в этот объем, Разделив его на объем, получим выражение для средней плотности энергии волны:

где ρ = m/V - плотность вещества.

Плотность энергии и ее среднее значение (2.77) пропорциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны а. Такая зависимость наблюдается не только для плоской волны с постоянной амплитудой, но и для других волн.

Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия передается от источники колебаний в различные точки среды самой волной. Итак, волна переносит вместе с собой энергию. Отношение количества энергии ΔЕ к времени Δt, за который эту энергию перенесено, называют потоком энергии. Предполагают, что Δt » Т, где Т - период колебаний. Поток энергии - скалярная величина, выражается в ваттах (СИ) и ергах за секунду (система СГС).

Поток энергии волн в различных точках среды имеет разную интенсивность. Для характеристики потока энергии вводят векторную величину, которую называют плотностью потока энергии волн. Эта величина равна отношению потока энергии к площади поверхности, располошована перпендикулярно к направлению распространения волн. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии волн.

Пусть через плоскость ΔS_┴ перпендикулярно к направления распространения волны переносится энергия ΔЕ за время Δt. Тогда плотность потока энергии

Учитывая, что ΔЕ/ Δt является потоком энергии ΔФ через плоскость ΔS_L , можно записать

Через плоскость ΔS_┴ за время Δt переносится энергия ΔЕ_┴, что содержится в объеме цилиндра с основой ΔS_┴ и высотой uΔt (u - фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы, то плотность энергии х во всех точках такого цилиндра можно считать одинаковой и

Подставив выражение (2.80) в формулу (2.78), получим

Рассматривая фазовую скорость u как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно записать

Российский физик М. О. Условий впервые ввел понятие вектора плотности потока энергии (вектор Умова). Вектор , как и плотность энергии χ, неодинаков в разных точках пространства. Среднее его значение с учетом (2.77) можно записать так:

Величину, равную произведению плотности среды на скорость распространения волн z = ρu, называют волновым сопротивлением.