Урок 30

Тема. Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой

Цель урока: формирование знаний учащихся о свойства перпендикулярных прямых и плоскостей.

Оборудование: стереометрический набор, схема «Свойства прямо и плоскости, перпендикулярных между собой» (с. 116).

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Коллективное обсуждение решения задачи № 10.

2. Математический диктант.

Дано изображение куба: вариант 1 - рис. 151, вариант 2 - рис. 152.

Пользуясь изображением, запишите:

1) плоскость, которая проходит через точку М прямой AM и перпендикулярна к ней; (2 балла)

2) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку D; (2 балла)

3) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку N; (2 балла)

4) плоскость, которая перпендикулярна к прямой BD; (2 балла)

5) прямые, перпендикулярные к плоскости АМС; (2 балла)

6) плоскости, которые перпендикулярны к прямой DC. (2 балла)

Ответ.

Вариант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (АСМ); 5) BD и KN; 6) (ADK) и (BCL).

Вариант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) и (ADM).

II. Восприятие и осознание нового материала

Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой

Теорема 1.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.

Доведение

Пусть а1 || а2 и a1α. Докажем, что αа2 (рис. 153). Точки А1 и А2 - точки пересечения а1 и а2 с плоскостью α.

В плоскости α через точку А2 проведем произвольную прямую х2, а через точку А1 - прямую х1 такое, что х1 || х2. Поскольку a1 || a2, x1 || x2 и а1х1, то по теореме 3.1 а2х2. Поскольку х2 выбрана произвольно в плоскости α, то а2α.

Теорема 2.

Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то данные прямые параллельны.

Доведение

Пусть aα, bα. Докажем, что а || b (рис. 154). Предположим, что аb. Тогда через точку С прямой b проведем b1 , параллельную а. А посколькуα, то и b1α по доказанной теореме, а по условию bα. Если точки А и В - точки пересечения прямых b1 и b с плоскостью α, то из предположения следует, что в треугольнике A = В = 90°, что не может быть. Следовательно, а || b.

Решение задач

1. Определите вид четырехугольника AA1B1B если:

а) АА1α; АА1 || ВВ1; Аα, Вα; AA1 ≠ ВВ1 (рис. 155);

б) АА1α; ВВ1α; α, Вα (рис. 156);

в) α; α; АА1α; ВВ1α; АА1 = ВВ1 (рис. 156).

2. Задача № 12 из учебника (с. 35).

3. Задача № 13 из учебника (с. 35).

4. Задача № 16 из учебника (с. 35).

Теорема 3.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и ко второй.

Доведение

Пусть α || β, аα. Докажем, что αβ. (рис. 157). Пусть точки А и В - точки пересечения прямой а с плоскостями α и β. В плоскости β проведем через точку В произвольную прямую b. Через прямую b и точку А проведем плоскость γ, которая пересекает α по прямой с, причем с || b. А посколькуα , то ас (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). Так ас, b || с и а, b, с лежат в γ, то аb. Учитывая, что b - произвольная прямая плоскости β, имеем аβ.

Теорема 4.

Если две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, то они параллельны.

Доведение

Пусть αа βа, докажем, что α || β (рис. 158). Пусть точки А и В - точки пересечения прямой а с плоскостями α и β. Предположим, что α β. Возьмем точку С на прямой пересечения плоскостей α и β. Са, ибо в противном случае через точку С проходили бы две различные плоскости α и β, перпендикулярные к прямой а, что невозможно. Проведем плоскость γ через точку С и прямую а, эта плоскость пересекает α и β по прямым АС и ВС соответственно. А посколькуα, то аАС, аналогично аВС. Следовательно, в плоскости α через точку С проходят две различные прямые АС и ВС, перпендикулярные к прямой а, что невозможно. Следовательно, α || β.