АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел III. ФУНКЦИЯ

§14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.

4. Сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Обозначим через S_n сумму первых n членов арифметической прогрессии:

Эту сумму можно найти по формуле

Если в данную формулу а вместо_n подставить выражение а₁ + d(n - 1), то получим еще одну формулу для вычисления

Этой формулой удобно пользоваться, если известен первый член и разность прогрессии.

Пример 1. Найдите сумму первых двенадцати членов последовательности (а_n), заданной формулой а_n = -3n + 5.

Решения. Данная последовательность является арифметической прогрессией, потому что ее задана формулой а_n = dn + b, где d = -3, b = 5 (см. свойство 5 предыдущего пункта данного параграфа). Имеем а₁ = -3 ∙ 1 + 5 = 2, а₁₂ = -3 ∙ 12 + 5 = -31. Найдем S_И2 по формуле

Пример 2. Найдите сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии (а_n), если а₃ = 5; ₇ = -3.

Решения. Поскольку а₃ = а₁ + 2d, то имеем 5 = а₁ + 2d .

Аналогично а₇ = а₁ + 6d; -3 = а₁ + 6d. Получили систему уравнений

Тогда а₁ = 5 + 4 ; а₁ = 9. Найдем сумму S₃₀ по формуле

Пример 3. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, не больше 300.

Решения. Натуральные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию: 8; 16; 24; 32; 40 ... Эту прогрессию можно задать формулой а_n = 8n. Найдем количество членов этой прогрессии, исходя из условия а_п ≤ 300. Имеем

S_n ≤ 300,

n = 37,5.

Следовательно, количество членов прогрессии, сумму которых надо найти, равна 37. Имеем а₁ = 8; а₃₇ = 8 ∙ 37 = 296. Тогда: