Любой член арифметической прогрессии (а_n) можно найти по формуле

а_n = a₁ + d(n - 1)

Имеем формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Последовательность (а_n) - арифметическая прогрессия, а₁ = 18; d = -1,5. Найдите пятнадцатый член этой последовательности.

Розв'язання. а₁₅ = а₁ + d(15 - 1) = а₁ + 14d = 18 + 14 ∙ (-1,5) = -3

Пример 2. Содержит ли арифметическая прогрессия 5; 8; 11 ... число: 1) 80; 2) 100?

Решения. В прогрессии а₁ = 5; а₂ = 8; d = а₂ - а₁ = 8 - 5 = 3. Запишем формулу n-го члена этой прогрессии: а_n = 5 + 3(n - 1), то есть а_n = 3n + 2.

1) Число 80 является членом прогрессии (а_n), если существует натуральное число n, при котором значение выражения 3n + 2 равняется 80. Имеем уравнение 3n + 2 = 80; 3n = 78; n = 26. Следовательно, число 80 является двадцать шестым членом арифметической прогрессии: а₂₆ = 80.

2) Рассуждая аналогично, имеем 3n + 2 = 100; 3n = 98; n = 32 ∙ 2/3. Число 32 ∙ 2/3 не является натуральным. Поэтому арифметическая прогрессия не содержит число 100.

Пример 3. Кубики положено в ряды так, что в верхнем ряду 3 кубика, в каждом нижнем - на одну и ту же количество кубиков больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 13 кубиков. Сколько кубиков в третьем ряду?

Решения. Поскольку в каждом нижнем ряду на одну и ту же количество кубиков больше, чем в предыдущем, то числе, выражающие количество кубиков по рядам, составляют арифметическую прогрессию.

Имеем а₁ = 3; а₆ = 13. Найдем сначала d этой прогрессии, а затем третий член прогрессии а₃. Итак, а₆ = а₁ + d(6 - 1); а₆ = а₁ + 5d. Тогда

13 = 3 + 5d,