Урок № 28

Тема. Подобие треугольников по двум углам

Цель: добиться понимания учащимися содержания первого признака подобия треугольников и следствия из нее, плана их доведения. Формировать умения:

· воспроизводить содержание изученного признаки и следствия из нее;

· выделять в треугольниках элементы для определения их сходства с двумя углами;

· применять формулировку первого признака подобия треугольников к решению задач.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Наглядность и оборудование: конспект «Подобие треугольников».

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Во время устного обсуждения контрольных моментов задач домашней работы ученики должны воспроизвести аргументированные рассуждения с использованием определения и свойств подобных треугольников и их линейных элементов.

III. Формулировка цели и задач урока

С целью создания соответствующей мотивации учебной деятельности учащихся предлагаем им ответить на ряд вопросов.

1. Какие два треугольника называются равными? Можно доказать, используя определение равных треугольников, треугольники, изображенные на рис. 1, являются равными? Какое утверждение можно для этого использовать?

2. Какие два треугольника называются подобными? Можно доказать, используя определение подобных треугольников, треугольники, изображенные на рис. 2, являются подобными? Известно ли вам утверждение, которое можно было бы для этого использовать?

Ответы на вопросы помогают учащимся осознать, что: во-первых, так же как и определение равенства треугольников, определение подобия треугольников имеет определенные ограничения во время применения; во-вторых, несмотря на существование определенных аналогий между понятиями равенства и подобия треугольников и на существование признаков равенства треугольников, можно предположить, что есть признаки подобия треугольников, то есть утверждение, что за ограниченного количества данных элементов треугольников позволяют установить подобие треугольников.

Следовательно, изучение признаков подобия треугольников является общей целью следующих трех уроков. На этом уроке (см. вопрос выше) должно быть установлено, можно ли утверждать, что треугольники подобны только за двумя углами, и в случае положительного ответа следует овладеть умениями использовать этот признак для решения задач.

IV. Актуализация опорных знаний

С целью успешного усвоения учащимися признаков подобия треугольников по двум углам, а также идеи ее доведения, ученикам следует активизировать знания и умения относительно теоремы о сумме углов треугольника; признаки равенства треугольников; свойства углов при параллельных прямых и секущей; применение теоремы о пропорциональных отрезках.

Выполнение устных упражнений по готовым рисункам

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Теорема (признак подобия треугольников по двум углам): формулировка и доказательство.

2. Следствия из теоремы: формулировка и доказательство.

3. Первый признак подобия для отдельных видов треугольников.

@ Учитывая существенное отличие программы по математике для двенадцатилетней школы от «старой» программы (см. методический комментария урока № 26), доказательство признака подобия треугольников по двум углам ведется не через преобразования подобия (как это было раньше), а осуществляется с ссылкой на теорему о сумме углов треугольника, свойства соответствующих углов при параллельных прямых и секущей, второй признак равенства треугольников и теорему о пропорциональных отрезках. Следовательно, если на предыдущем этапе урока должным образом была проведена подготовительная работа, то доведение признаки подобия треугольников по двум углам должно быть понятным для учеников, а потому воспроизведения доказывания (как не требует программа) не составит труда. С целью облегчения запоминания доведение целесообразно составить план, который впоследствии ученики зафиксируют в тетрадях. Закрепление содержания доказанной теоремы проводится во время выполнения устных упражнений (см. ниже).

Кроме теоремы, выражающей признак подобия треугольников по двум углам, автор считает целесообразным на этом уроке рассмотреть некоторые опорные факты, непосредственно вытекающие из доказанной признаки), которые имеют достаточно большое практическое значение. Речь идет о такие утверждения:

· прямая пересекает две стороны треугольника и проходит параллельно третьей стороны, отсекает от данного треугольника подобный треугольник;

· треугольники, образованные основаниями трапеции и прилегающими к ним отрезками диагоналей, на которые они делятся точкой своего пересечения, подобные (см. рис. 3).

ABCD - трапеция (BC || AD); О - точка пересечения диагоналей, ΔAOD ~ ΔСОВ.

Справедливость первого утверждения очевидна (см. учебник); для доказательства второго утверждения достаточно вспомнить определение трапеции (основания параллельны) и свойство внутренних разносторонних углов при параллельных прямых и секущей. Предупреждая возможные типичные ошибки в применении второго следствия (для трапеции), учитель должен сразу обратить внимание учащихся на то, что различные соответствующие вершины подобных треугольников трапеции являются концами одной и той же диагонали. Что касается трансформации признаки для отдельных видов треугольников (все равносторонние треугольники подобны; равнобедренные треугольники подобны, если имеют или по равному углу между боковыми сторонами, или по равному углу при основании), то эти утверждения можно доказать во время изучения нового материала, опираясь на доказанную признак для произвольного треугольника, или решить соответствующие задачи, после чего обобщить полученные ответы.

VI. Формирование первичных умений

Выполнение графических упражнений

1. Начертите трапецию и проведите его диагонали.

а) Выделите цветом подобные треугольники, которые образовались на рисунке. По какому признаку можно доказать их сходство?

б) Измерьте длины отрезков одной диагонали, на которые она делится точкой пересечения диагоналей. Измерьте длину одной из основ трапеции и вычислите длину второй основы, пользуясь подобием треугольников. Проверьте результат измерением.

2. Начертите треугольник и проведите прямую, которая параллельна одной из его сторон и пересекает две другие стороны.

а) Выделите цветом подобные треугольники, которые образовались на рисунке. По какому признаку можно доказать их сходство?

б) Измерьте углы, под которым данная прямая пересекает стороны треугольника, и найдите все углы треугольника.

Выполнение письменных упражнений

1. На рисунке 4 найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

2. По данным рисунка 5 докажите подобие треугольников ABC и А1В1С1.

3. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке О.

а) Докажите, что ΔAOD ~ ΔВОС.

б) Найдите AD, если BC = 4 см. ОВ = 6 см, ОА = 9 см.

4. Два равнобедренные треугольники имеют равные углы при основании. Основание одного треугольника равна 8 см, а боковая сторона - 6 см. Найдите периметр второго треугольника, если его основание равно 4 см.

5. Докажите, что любые два равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

@ Во время решения задач (начиная уже с устных упражнений) следует требовать от учащихся построения доказательства в форме, которая им знакома с седьмого класса (применялась во время выполнения доказательства равенства треугольников).

Рассмотрим треугольники... и ... В них:

(дается перечень пар соответственно равных углов треугольников с обоснованием согласно признаки подобия или соответственно до определенного следствия), поэтому треугольники... и ... подобные за двумя углами (или как равнобедренные...)

VII. Итоги урока

Могут ли быть подобными:

а) прямоугольный и равнобедренный треугольники;

б) прямоугольный и равносторонний треугольники;

в) треугольник с углом 50° и треугольник с углом 100°;

г) треугольник с углом 60° и треугольник с углом 120°?

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание за доказательство первого признака подобия треугольников.

Решить задачи.

1. На рисунке 6 найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

2. Диагонали трапеции ABCD (AD || BC) пересекаются в точке О.

а) Докажите, что ΔAOD ~ ΔСОВ .

б) Найдите ВС , если AD = 16 см, АО : ОС = 4 : 3.

3. Определите, подобные треугольники со сторонами:

а) 3, 4, 6 и 9, 15, 18;

б) 2, 3, 3 и 8, 12, 12.

4. Два равнобедренные треугольники имеют равные углы, противоположные основы. Периметры этих треугольников равны соответственно 15 см и 10 см. Найдите стороны второго треугольника, якаю боковая сторона первого треугольника равна 6 см.

5. На рисунке 7 найдите подобные треугольники и докажите их подобие.