УРОК 28

Тема. Решение простейших тригонометрических неравенств

Цель урока: формирование умений учащихся решать простейшие тригонометрические неравенства sin t > a, sin t a, cos t > a, cos t a (sin t a sin t a, cos t a, cos t a).

И. Проверка домашнего задания

1. Два ученика воспроизводят решения систем с домашнего задания.

2. Коллективное решение системы уравнений

Решение

Тогда 1)

2)

Ответ: , , n, k Z.

II. Восприятие и осознание решения простейших тригонометрических неравенств

Неравенство называется тригонометричною, если она содержит переменную только под знаком тригонометрической функции. Например, sin 3x > 1, cos x + tg x 1 - тригонометрические неравенства. Решить тригонометричну неравенство означает найти множество значений переменной, при которых неравенство выполняется.

Решения тригонометрических неравенств сводится к решению неравенств:

sin x > a, sin x a, sin x a, sin x а,

cos x > a, cos x a, cos x a, cos x a,

tg x > a, tg x a, tg x a, tg x a,

которые называются простейшими. Итак, цель сегодняшнего урока - научиться решать простейшие тригонометрические неравенства, используя единичный круг.

Рассмотрим примеры.

1. Решите неравенство sin t .

Решение

Строим единичный круг (рис. 126) и прямую у = , которая пересекает единичный круг в точках А и В. Находим на единичной окружности точки, значения ординат которых не меньше .

Этими точками являются точки дуги АСВ, где А = , В = . Следовательно, решением неравенства будут все значения t из промежутка . Учитывая, что период функции sin t равен 2π, имеем решение данного неравенства .

Ответ:

2. Решить неравенство sin t - .

Решение

Строим единичный круг (рис. 127) и прямую у = -, которая пересекает единичный круг в точках А и В. Точки дуги АСВ имеют значение в не большие -, где А = , В =. Следовательно, решением неравенства будут все значения t из промежутка . Учитывая периодичность, имеем:

Ответ: .

3. Решить неравенство cost > .

Решение

Построим единичный круг (рис. 128) и прямую х = , которая пересекает единичный круг в точках А и В. Точки единичной окружности, абсциссы которых больше , лежат на дуге АР0В, где А = , В = . Следовательно, решением неравенства будут все значения t из промежутка . Учитывая периодичность, имеем: .

Ответ: .

4. Решить неравенство cos t -.

Решение

Построим единичный круг (рис. 129) и прямую х = -, которая пересекает единичный круг в точках А и В. Точки единичной окружности, абсциссы которых меньше -лежат на дуге АСВ где А = , В = . Следовательно, решением неравенства будут все значения t из промежутка . Учитывая периодичность, имеем: .

Ответ: .

III. Формирование умений решать простейшие неравенства

1. Решите неравенства:

a) sin х -; б) sin х ; в) cos x -; г) cos x .

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Решите неравенство:

a) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

IV. Подведение итогов урока

V. Домашнее задание

Раздел II § 5 (к примеру 3). Вопросы и задания для повторения раздела II № 22-23. Упражнение№ 3 (1, 3, 5, 7).