Соотношение между сторонами и углом прямоугольного треугольника
Пусть
ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом
С и острым углом при вершине
A, равна

.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета до гипотенузы.
На рисунке

или

.
Синусом угла

называется отношение противоположного катета до гипотенузы:

или

.
Тангенсом угла

называется отношение противоположного катета к прилегающему:

или

.
Котангенсом угла

называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

или

.
Значения

,

,

,

зависят только от величины угла.
Из определений следует, что для острых углов

и

прямоугольного треугольника (см. рисунок) имеем:


;

;

;

;

, а также

,

.
Надо уметь находить элементы прямоугольного треугольника, если даны какая-либо сторона и один из острых углов.
Рассмотрим такие задачи.
1. Дано:

;

(гипотенуза и острый угол).
Найти:
b;
a;

.
Решение:

;

;

.
2. Дано:

;

(катет и прилежащий угол).
Найти:
a;
c;

.
Решение:

;

;

.
3. Дано:

;

(катет и противоположный угол).
Найти:
b;
c;

.
Решение:

;

;

.
Катет, прилегающий к углу

, равен произведению гипотенузы и

.
Катет, противоположный углу

, равен произведению гипотенузы и

.
Катет, противоположный углу

, равен произведению второго катета и

.
Основные тригонометрические тождества, изменение

,

,

при росте угла

описано в разделе («Алгебра. 10 класс. Тригонометрические функции»).
Значения

,

,

,

некоторых углов:

Полезным является знание таких соотношений.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
На рисунке ниже в треугольнике
ABC:


;

;

.