Соотношение между сторонами и углом прямоугольного треугольника

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине A, равна .
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета до гипотенузы.
На рисунке или .

Синусом угла называется отношение противоположного катета до гипотенузы:
или .
Тангенсом угла называется отношение противоположного катета к прилегающему:
или .
Котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему:
или .
Значения , , , зависят только от величины угла.
Из определений следует, что для острых углов и прямоугольного треугольника (см. рисунок) имеем:

; ;
; ;
, а также , .
Надо уметь находить элементы прямоугольного треугольника, если даны какая-либо сторона и один из острых углов.
Рассмотрим такие задачи.
1. Дано: ; (гипотенуза и острый угол).
Найти: b; a; .
Решение:
; ; .
2. Дано: ;
(катет и прилежащий угол).
Найти: a; c; .
Решение:
; ; .
3. Дано: ;
(катет и противоположный угол).
Найти: b; c; .
Решение:
; ; .
Катет, прилегающий к углу , равен произведению гипотенузы и .
Катет, противоположный углу , равен произведению гипотенузы и .
Катет, противоположный углу , равен произведению второго катета и .
Основные тригонометрические тождества, изменение , , при росте угла описано в разделе («Алгебра. 10 класс. Тригонометрические функции»).
Значения , , , некоторых углов:

Полезным является знание таких соотношений.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
На рисунке ниже в треугольнике ABC:

;
;
.