Урок 27

Тема. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Цель урока: формирование понятия прямой, перпендикулярной к плоскости. Изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Оборудование: стереометрический набор, модель куба.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Ответы на вопросы, которые возникли у учащихся при выполнении домашнего задания.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1) Лучи OВ, ОС, OD попарно перпендикулярны. Найдите длину отрезка ВС, если OD = а, DC = b, DB = с. (6 баллов)

2) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что АССС1. (6 баллов)

Вариант 2

1) Лучи 0В, ОС, OD попарно перпендикулярны. Найдите длину отрезка ОС, если BD = а , DC = b, OB = с. (6 баллов)

2) Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Докажите, что АВВ1С1. (6 баллов)

Вариант 3

1) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = b, А1В = а, AD = с. Найдите A1D. (6 баллов)

2) В треугольной пирамиде SABCвсе ребра которой равны, точки М и N - середины ребер АС и SB соответственно. Докажите, что MNAC. (6 баллов)

Вариант 4

1) В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 BD = с, ВА1= а , AD = b. Найдите ребро АА1. (6 баллов)

2) В треугольной пирамиде SABC все ребра которой равны, точки М и N - середины ребер AS и ВС соответственно. Докажите, что MNAS. (6 баллов)

Ответ. Вариант 1. 1) . Вариант 2. 1) . Вариант 3. 1) . Вариант 4. 1) .

II. Восприятие и осознание нового материала

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Представление о прямую, перпендикулярную к плоскости дают вертикально поставленные столбы - они перпендикулярны к поверхности земли, перпендикулярные к любой прямой, которая проходит через основание столба и лежит в плоскости земли.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходит через точку пересечения.

На рис. 137 прямая с перпендикулярна к плоскости α. Пишут: сα. Из определения следует, что сa, сb.

Решение задач

1. Укажите в окружающем пространстве модели прямых и плоскостей, которые перпендикулярны.

2. Правильно ли, что если прямая не перпендикулярна к плоскости, то она не перпендикулярна ни к одной прямой, которая лежит в этой плоскости?

3. Что означает утверждение: прямая не перпендикулярна к плоскости?

4. Прямая SA перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Укажите перпендикулярные прямые (рис. 138).

(Ответ. SAAB; SAAC; SAAD)

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Как проверить, перпендикулярна данная прямая в данной плоскости? Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке мачт, колонн и т.п., которые нужно поставить прямо, то есть перпендикулярно к плоскости земли. На самом деле нет необходимости проверять перпендикулярность прямой до всех прямых, лежащих в данной плоскости и проходят через точку пересечения данной прямой и плоскости, а достаточно проверить перпендикулярность только до двух прямых, лежащих в плоскости и проходят через точку пересечения прямой и плоскости. Это следует из теоремы, выражающей признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости и пересекаются, то она перпендикулярна к данной плоскости.

Далее коллективно разбирается доказательства сформулированной теоремы по заготовленным рисунком и условием теоремы.

Приводим запись, что делается на доске и в тетрадях учащихся.

Дано:

aс, ab, bαсα; а, b, с пересекаются в точке А; хα .

Доказать: ах (рис. 139).

Доведение

Дополнительные постройки: проводим прямую в плоскости α, которая пересекает прямые b, х, с в точках В, X, С, и откладываем на прямой а АА1 = АА2.

Решение задач

1. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1. Доказать, что:

а) АА1(АВС);

б) AD(DCC1);

в) B1D1(A1C1C);

г) А1В1ВС1;

д) ΔAB1C1 - прямоугольный;

е) AB1C1D - прямоугольник.

2. Дано: ABCD - параллелограмм; МА = МС, MB = MD. Доказать, что МО(АВС) (рис. 140).

3. Дано: ABCD - квадрат; MB = MD (рис. 141). Доказать, что BD(MAO).

4. Задача № 6 из учебника (с. 34).

III. Домашнее задание

§3, п. 15; контрольные вопросы № 3, 4; задача № 7 (с. 34).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Сформулируйте определение прямой, перпендикулярной к плоскости.

2) Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3) Точка S лежит вне плоскости ромба ABCD, причем SBBC, SBAB, BAD = 60° (рис. 142). Какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) прямая SB перпендикулярна к плоскости АВС;

б) прямая AB перпендикулярна к прямой SB;

в) прямая BC перпендикулярна к плоскости ASB;

г) прямая SB перпендикулярна к прямой BD?

4) Точка S лежит вне плоскости треугольника АВС, причем SAAC, AB,AC, SA = SB = AB (рис. 143). Какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) прямая SA не перпендикулярна к плоскости АВС;

б) прямая AB перпендикулярна к плоскости SAC;

в) прямая АС перпендикулярна к плоскости SAB;

г) прямая BC перпендикулярна к плоскости ASC?