УРОК № 26

Тема. Уравнение круга

Цель урока: вывод уравнения окружности. Формирование умений учащихся использовать уравнения окружности к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Декартовы координаты и векторы на плоскости» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: записывают и объясняют уравнения круга. Распознают уравнения круга.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учеников во время их выполнения.

II. Анализ результатов самостоятельной работы

III. Восприятие и осознание нового материала

В алгебре мы встречались с различными уравнениями и строили их графики.

Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя переменными х и у, которое удовлетворяют координаты любой точки фигуры, и наоборот: любые два числа, которые удовлетворяют это уравнение, являются координатами некоторой точки этой фигуры.

Какое же уравнение имеет круг?

Для того чтобы составить уравнение окружности, вспомним его свойство, что содержится в определении круга: все точки окружности размещены в одной плоскости с его центром и все равно от него удаленные.

Пусть центр окружности М(а; b), а радиус окружности R (рис. 140).

Обозначим на круге любую точку А (х; у). Расстояние от точки М до точки А равен R, то есть AM = R, но по формуле расстояния между двумя точками имеем АМ2 = (х - а)2 + (y - b)2, или (x - a)2 + (y - b)2 = R2. (1)

Координаты любой точки этой окружности удовлетворяют уравнению (1). Правильно и то, что любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), принадлежит кругу.

Следовательно, (x - a)2 + (y - b)2 = R2 - уравнение окружности. Если центр круга (рис. 141) лежит в начале координат, то оно имеет уравнение х2 + у2 = R2.

Рассмотрим уравнение (1), в котором х и у - переменные координаты точек круга, а числа а и b - соответственно абсцисса и ордината центра, R - радиус круга. Итак, чтобы записать уравнение круга, надо запомнить эту формулу и знать координаты центра и радиус.

Например, пусть M(-1; 2), a R = 2, тогда уравнение окружности (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4.

Выполнение упражнений

1. 1) Какие из точек: А(1; 2), В(3; 4), С(-4; 3), D(0; 5), F(5; -1) -лежат на окружности, уравнение которого х2 + у2 = 25?
2. 2) Запишите уравнение окружности радиуса 1, а координаты центра:

а) (1; 1);

б) (-1; 1);

в) (1; -1);

г) (-1; -1)

1. 3) Укажите координаты центра и радиус круга, заданное уравнением:

a) (x - 1)2 + y2 = 9;

б) (x + 1)2 + (у + 3)2 = 1;

в) x2 + (y + 1)2 = 2;

г) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 7.

1. 4) Найдите на окружности х2 + у2 = 100 точки:

а) с абсциссой 6;

б) с ординатой 8.

IV. Закрепление и осознание нового материала
Решение задач

1. 1. Дано точки А(2; 1), В(-2; 5). Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ.
2. 2. Даны точки А(-1; -1) и С(-4; 3). Составьте уравнение окружности:

а) с центром в точке А и проходит через точку С;

б) с центром в точке С и проходит через точку А.

1. 3. Найдите на оси Ох центр круга, который проходит через точку А(1; 4) и радиусом 5.
2. 4. Составьте уравнение окружности с центром (1; 2), которое примыкает к оси Ох.
3. 5. Составьте уравнение окружности с центром (-3; -4), которое проходит через начало координат.
4. 6. Докажите, что отрезок АВ, концы которого А(2; -5) и В(5; -2) является хордой окружности (х - 5)2 +(у + 5)2 = 9.
5. 7. Или пересекает окружность (х + 4)2 + (у - 1)2 = 20 ось Оу? Если пересекает, то в каких точках?

V. Домашнее задание

Изучить уравнение окружности и решить задачи.

1. 1. Окружность задана уравнением (х - 1)2 + (у + 3)2 =10. Проходит ли это круг через начало координат?
2. 2. Или пересекает окружность (х - 3)2 + (у + 5)2 = 26 ось Ох? Если пересекает, то найдите точки пересечения с осью Ох.
3. 3. Найдите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А(8; 5), В(2; -3).

VI. Подведение итогов урока

Задача класса

1. 1. Запишите уравнение окружности.
2. 2. Найдите координаты центра и длины радиусов окружностей, изображенных на рис. 142. Запишите уравнения этих кругов.