Урок № 25

Тема. Обобщенная теорема Фалеса

Цель: сформировать у учащихся понятие о отношение отрезков, пропорциональные отрезки; сформировать осознанное понимание учащимися содержания теоремы о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса) и идеи ее доведения, а также возможность записи теоремы в виде двух разных равенств. Формировать у учащихся умения:

· воспроизводить содержание изученных на уроке утверждений;

· находить на рисунке пропорциональные отрезки;

· записывать равенство отношений пропорциональных отрезков по условию задачи для нахождения неизвестных длин отрезков;

· использовать теорему о пропорциональных отрезка для решения задачи на построение четвертого пропорционального отрезка.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Наглядность и оборудование: конспект «Теорема Фалеса».

Ход урока

I. Организационный этап

Поскольку урок является первым во втором разделе курса геометрии 8 класса («Подобие треугольников. Теорема Пифагора»), то на этом этапе урока уместно будет предоставить учащимся информацию о:

· ориентировочный план изучения раздела;

· количество учебных часов, которое отведено для его изучения;

· примерное содержание материала;

· основные требования к знаниям и умениям учащихся;

· примерное содержание заданий, которые будут вынесены на контроль.

(Эту информацию можно поместить на стенде «Справочно-информационный уголок» в кабинете математики. С целью экономии времени предложить учащимся для самостоятельного ознакомления во внеурочное время).

II. Проверка домашнего задания

Если на предыдущем уроке было предложено ученикам дома решения задач контрольной работы или коррекционную работу и т.п.), то правильность выполнения этой работы учитель проверяет, собрав тетради на проверку (для оценивания).

III. Формулировка цели и задач урока

Для понимания учащимися логики изучения материала и с целью создания мотивации учебной деятельности учащихся на уроке предлагаем им выполнить практическую работу.

Практическая работа

1. Выполните изображение произвольного отрезка АВ. С помощью циркуля и линейки разделите отрезок АВ на две части в отношении 2 : 3. (Точку деления обозначьте буквой С). (Замечание: во время выполнения построения используем теорему Фалеса и алгоритм решения задачи на деление данного отрезка на п равных частей.)

2. Измерьте длины всех отрезков ( АВ , АС , СВ , AY , АХ , XY), образовавшихся на рисунке 1.

3. Вычислите значение частиц: АС : ВС ; АС : АВ ; AY : XY; AY : АХ. Сравните полученные числа. Что вы заметили? Можете ли вы объяснить полученные результаты?

@ Выполняя построения, соответствующие условию задачи 1, ученики получают конфигурацию, подобную той, что изображена на рис. 1.

После выполнения измерений и вычислений в соответствии с условиями заданий 2 и 3 ученики должны заметить, что, независимо от длины отрезка АВ и градусной меры угла ХАВ и несмотря на неточность измерений, среди полученных значений долей длин образованных отрезков есть равные числа, существование которых ученики не могут объяснить. Учитель предлагает учащимся сравнить рис.1 с рисунком теореме Фалеса и найти одинаковые и отличительные черты. После этого ученики должны заметить, что, несмотря на определенное сходство (параллельные прямые пересекают стороны угла), случай на рис. 1 не полностью соответствует условию теоремы Фалеса. Таким образом формулируется проблема. Существует необходимость обобщения теоремы Фалеса для случая, когда параллельные прямые пересекают стороны угла, отхватывая на одной из сторон произвольные отрезки, а также выражение зависимости между полученными отрезками в алгебраической форме. Решения поставленной проблемы является основой целью этого урока.

IV. Актуализация опорных знаний

Для успешного усвоения учащимися содержания понятий «отношение отрезков», «пропорциональные отрезки», содержания теоремы о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса) и идеи ее доведения, а также понимание учащимися возможности записи теоремы в виде двух равенств ученикам следует активизировать знания и умения относительно определения и свойства пропорции; содержания теоремы Фалеса.

Выполнение устных упражнений

1. Среди записей: , ab, a : b, а - b, а + b выбрать те, которые можно назвать отношением чисел а и b . Что может показывать это отношение?

2. Как называется запись ? Как называются числа а , b , с, d в этой записи?

3. Известно, что равенство является правильной. Какие из предложенных ниже равенств являются правильными? Почему?

а) ad = bс; b) ; в) ; г) ; д) .

4. а) АК : KB = 2 : 3 (рис. 2). Найдите: АК : АВ; ВК : АК; ВК : АВ;

б) ВК : АВ = m : n. Найдите АК : ВК; АК : АВ.

5. Найдите NH (рис. 3), если АВ = 10.

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Представление о содержании понятий «отношение отрезков»; «пропорциональные отрезки».

2. Теорема о пропорциональных отрезках (формулировка и идея доказательства).

3. Построение четвертого пропорционального отрезка.

@ Как показывает опыт, трудности восприятия содержания, а отсюда применение обобщенной теоремы Фалеса, возникают потому, что ученики не понимают смысла понятия «пропорциональные отрезки». Следовательно, изучение нового материала следует начинать с формирования сознательного понимания учащимися понятия пропорциональных отрезков с последующим закреплением его содержания на примерах.

За такого способа изучения материала формулировку теоремы о пропорциональных отрезках является простым обобщением результатов практической работы, поэтому, прежде чем формулировать утверждение теоремы, учитель может предложить учащимся самостоятельно составить обобщенное утверждение (исходя из равенств, которые учащиеся получили во время выполнения практической работы). Учителю следует подчеркнуть, что выполнена построение не является доказательством утверждения (это лишь иллюстрация теоремы). Ученики должны понимать, что составленное утверждение должно быть доказанным. Поскольку строгое математическое доказательство обобщенной теоремы Фалеса является достаточно сложным для учащихся 8 класса, то предоставляется только идея доказательства утверждения теоремы о пропорциональных отрезках со ссылкой на доказанную ранее теорему Фалеса. Заметим, что, в отличие от традиционного учебника, в новом учебнике формулируется и доказывается утверждение для отрезков, которые последовательно расположены на каждой из сторон угла (за такого подхода к формулировке теоремы ссылки на теорему Фалеса становится более понятным).

Что касается пропорциональности отрезков, которые имеют общий конец в вершине угла, то в новом учебнике довольно оригинально доказан этот факт через применение к ранее доказанного утверждения одного из свойств пропорции.

После обработки понятие пропорциональных отрезков и формулировки и доказательства теоремы о пропорциональных отрезках желательно на примерах закрепить путем составления соответствующих пропорций за готовыми рисунками понимание учащимися содержания теоремы.

Если учащиеся хорошо усвоили теоретический материал, а также демонстрируют понимание содержания теорем и умение применять его на примерах, можно на этом уроке изучить схему решения базовой задачи на построение четвертого пропорционального отрезка.

VI. Закрепление знаний, формирование первоначальных умений

Выполнение письменных упражнений

1. Определите, есть отрезки длиной а и b пропорциональны отрезкам с и d , если:

а) а = 8 см, b = 24 см, с = 7 см, d = 12 см;

б) а = 9 см, b = 14 см, с = 7 см, d = 18 см.

2. По данным рисунка 4 найдите х, если а || b.

3. Прямая KM параллельна стороне АС треугольника ABC (рис. 5). Найдите отрезок MС , если АК = 2 см, KB = 6 см, ВМ = 9 см.

4. Прямая MN параллельна основаниям трапеции ABCD (рис. 6). Найдите сторону CD, если AM : AB = 4 : 5, CN = 3 см.

5. Даны отрезки а , b , с. Постройте отрезки: 1) ; 2) .

6. На рис. 7 BE : ЕА = 4 : 6, BD : DC = 6 : 7. Найдите отношение СК : КЕ .

VII. Итоги урока

На каком из приведенных рисунков допущена ошибка в изображении параллельных прямых а и b ?

VIII. Домашнее задание

Изучить теоретический материал.

Решить задачи.

• 1. По данным рисунка 8 найдите х, если а || b.
• 2.

2. Прямая KM параллельна стороне АС треугольника ABC (рис. 5). Найдите отрезок МС, если АК : KB = 2 : 3, ВС = 10 см.

3. Прямая MN параллельна основаниям трапеции ABCD (рис. 6). Найдите сторону АВ , если AM : ND = 3 : 2, CN = 2 см, АМ = 9 см.

4*. Даны отрезки а , b , c. Постройте отрезки: а) ; б) .