Урок 25

Тема. Перпендикулярность прямых в пространстве

Цель урока: формирование понятия о перпендикулярные прямые. Изучение теорем о прямых, которые пересекаются и параллельны двум перпендикулярным прямым.

Оборудование: стереометрический набор.

Ход урока

И. Анализ выполнения тематического оценивания

II. Проверка домашнего задания

В конце урока собираются ученические тетради для проверки их ведения и выполнения домашнего задания.

III. Восприятие и осознание нового материала

Определение перпендикулярных прямых в пространстве

Наряду с отношением параллельности в геометрии важное значение имеет отношение перпендикулярности. В планиметрии мы говорили о перпендикулярность прямых. Перпендикулярными прямыми на плоскости называются прямые, которые пересекаются под прямым углом.

В стереометрии рассматривают три случая перпендикулярности: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей. На следующих уроках мы займемся последовательным изучением этих трех отношений. Начнем с случае перпендикулярности прямых в пространстве.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Решение задач

1. Назовите в окружении модели прямых, которые перпендикулярны между собой.

2. Дано изображение куба АBСDA1B1C1D1. Укажите ребра куба, перпендикулярные к прямой АА1.

3. Задача № 3 (1, 4) из учебника (с. 34).

Теорема о прямых, которые пересекаются и параллельны двум перпендикулярным прямым

Вопрос к классу: что можно утверждать о взаимном расположении прямых а1 и b1, которые пересекаются и а1 || а, b1 || b, а b? Ученики выдвигают гипотезу, что a1 b1. Для иллюстрации этого утверждения используется каркасная модель куба или прямоугольного параллелепипеда.

Далее формулируем теорему:

Если две прямые, которые пересекаются, параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Доказательство этой теоремы проводит учитель. Подаем запись доказательства теоремы, который рекомендуется сделать на доске и в тетрадях учащихся.

Дано: ab, аα, bα; а1||а, b1||b, а1α1, b1α1, а1 и b, пересекаются (рис. 131).

Доказать: а1 b1

Доведение

Номер п/п	Утверждение	Аргумент
1	а и b лежат в α , a1 и b1 лежат в α1	Сз
2	а \|\| а1	Теорема 2.4
3	Пусть точка С - точка пересечения а и b, точка С1 - точка пересечения а1 и b1	Определение
4	AA1 \|\| СС1, ВВ1 \|\| CC1	Теорема 2.1
5	A1A2 \|\| BB1	Теорема 2.2
6	CAA1C1 и CBB1C1 - параллелограммы, следовательно, AC = А1С1, BC = B1C1	AC\|\|A1C1;AA1 \|\| CC1, СВ \|\| С1В1, ВВ1 \|\| СС1
7	АВB1А1 - параллелограмм, следовательно, АВ = А1B1	АВ\|\|А1B1, AA1 \|\| ВВ1
8	ΔАВС =ΔА1В1С1, значит, A1C1B1= ACB = 90°, тогда а1 b1	Третий признак равенства треугольников

Решение задач

1. SABC - тетраэдр; ABC = 90°; точки К, L, М - середины ребер SB, SA, SC соответственно (рис. 132). Найти MKL.

2. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 133). Точки М, N, Р, К - точки пересечения диагоналей граней АВВ1А1, CDD1C1, А1B1C1D1 и ABCD соответственно. Доказать, что MNРК.

3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точку М, принадлежащую ребру АА1 в грани AA1DD1, проведите прямую MN так, чтобы MOD1 = 90°, где точка О - точка пересечения прямых MN и AD1.

Решение

Проведем в квадрате A1ADD1 диагонали AD1 и A1D (AD1A1D) (рис. 134). Через точку М ребра АА1 в грани АDD1А1 проведем прямую MN || А1D. По теореме 3.1 MNAD1, поскольку A1OD1 = 90°.

4. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точку О грани А1АDD1 проведите прямые ОМ и ON так, чтобы ОМ || ВС , ON || СС1. Докажите, что MON = 90° .

5. Через точку О пересечения диагоналей куба ABCDA1B1C1D1 проведите плоскость α, параллельную основе А1B1С1D1 куба. Докажите, что MON = 90°, где точки М, N - точки пересечения ребер СС1 и BВ1 с плоскостью α.