УРОК 25

Тема. Решение однородных тригонометрических уравнений

Цель урока: формирование умений учащихся решать однородные тригонометрические уравнения.

И. Проверка домашнего задания

1. Обсуждение решение упражнения № 2 (6; 9; 11) за готовыми решениями.

2. Решения аналогичных упражнений.

а) 1 + cos x + cos 2x = 0;

б) cos4 x - sin4 x = ;

в) cos 4x + sin 2x = 0;

г) cos x (tg x - 1) = 0.

Ответы: а) + πn, ± + 2 πn, nZ; б) ± + πn, nZ;

в) (-1)n+1 + ; + πn, nZ; г) + πn, nZ.

II. Восприятие и осознание нового материала

1) Рассмотрим уравнение вида asin x + bcos x = 0 (однородное уравнение 1-й степени), где а и b не равны нулю. Значения x, при которых cos x равна нулю, не удовлетворяет данному уравнению, ибо тогда и sin x тоже равнялся бы нулю, а cos x и sin x не могут одновременно равняться нулю. Поэтому можно разделить обе части уравнения почленно на cos x. Имеем:

; atg x + b = 0; tg x = - .

x = - arctg + πn, nZ.

Выполнение упражнений

Решите уравнение.

1. а) sinx + cosx = 0;

б) 16sin x = 5cos x;

в) 2cos 2x + 3sin 2x = 0;

г) sin2 x + sin x cos x = 0.

Ответ: а) -+πn, nZ; б) arctg + πn, nZ; в) -arctg+, nZ; г) πn, -+ πn, nZ.

2. Уравнения вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называется однородным уравнением 2-й степени. Если числа а, b, с не равны нулю, то разделим данное уравнение на cos2 x (или на sin2x). (В данном уравнении cos2x ≠ 0, ибо в противном случае sin2 x тоже равнялся бы нулю, а cos x и sin x не могут одновременно равняться нулю). Тогда

;

atg2x + btgx + c = 0.

Решив полученное уравнение получим корни данного уравнения.

Выполнение упражнений

1. Решите уравнение:

а) sin2 x = 3cos2 x;

б) sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0;

в) 3sin2 x - 4sin x cos x +cos2 x = 0;

г) sin2 x - 5sin x cos x + 6cos2 x = 0.

Ответ: а) ± + πn, nZ; б) arctg 2 + πn, + πn, nZ; в) + πn, arctg + πn, nZ; г) arctg 2 + πn, arctg 3 + πn, nZ.

3. Уравнения вида аn sinn x + an-1 sinn-1x cos x +... + a1 sinx cosn-1x + a0 cosn x = 0

называется однородным уравнением n-ой степени относительно синуса и косинуса.

Если ни один из коэффициентов an, а n-1, ... , a1, a0 не равен нулю, то, разделив обе части уравнения почленно на cosnx, получим уравнение n-ой степени относительно tgx. Если хотя бы один из коэффициентов an, а n-1, ... , a1, a0 равна нулю, то прежде чем выполнять деление на cosnx, следует доказать, что cosnx ≠ 0, т.е. cos x ≠ 0.

Рассмотрим пример:

Решите уравнение cos2 x - 2 cos x sin x = 0.

Делить обе части на cos2 x , cos2 x = 0 является решением данного уравнения. Это уравнение можно решить:

И способ (вынесение множителя)

cos2 x - 2 cos x sin x = 0

cos x (cos x - 2 sin x) = 0

Отсюда cosx = 0 или cosx - 2sinx = 0.

1) cos x = 0; x = + πn, nZ.

2) cosx - 2sinx = 0; ; 1 - 2tgx = 0; tgx = ; x = arctg + πn, nZ.

Ответ: + πn, nZ; arctg + πn, nZ.

II способ. Разделим обе части на sin2 x, поскольку sin x ≠ 0 в данном уравнении, ибо в противном случае и cos x = 0, что невозможно.

,

ctg2 x - 2ctg x = 0;

ctgх(ctg x - 2) = 0.

Отсюда ctg x = 0, или ctg x = 2.

1) ctg x = 0; x = + πn, nZ.

2) ctg x = 2; x = arcctg 2 + πn, nZ.

Ответ: + πn, arcctg 2 + πn, nZ.

Выполнение упражнений

1. Решите уравнение:

а) sin 2х - cos2 x = 0;

б) 2 sin2 x = sin 2x;

в) 3 sin 2x + cos 2x = cos2 x;

г) 1 - cos x = 2 sin cos .

Ответ: a) + πn, arctg + πn, nZ; б) πn, + πn, nZ; в) πn, arctg 6 + πn, nZ; г) 2πn, + 2πn, nZ.

2. Решите уравнение:

а) 4sin2 x - sin2x = 3;

б) sin 2х + 4cos2 x = 1;

в) 5 sin2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0;

г) 2 sin x + cos x = 2.

Ответ: а) arctg 3 + πn, - + πn, nZ; б) arctg3 + πn, - + πn, nZ; в) - arctg 4 + πn, + πn, nZ; г) + 2πn, 2arctg + 2 πn, nZ.

III. Подведение итогов урока

IV. Домашнее задание

Раздел II § 3 (3). Вопросы и задания для повторения раздела II № 17, 18. Упражнение№ 2 (8; 17; 22; 28; 36).