УРОК № 24

Тема. Квадратное неравенство. Решение квадратных неравенств

Цель урока: сформировать знания учащихся о содержании понятия «квадратное неравенство», добиться понимания и усвоения учащимися схемы решения квадратных неравенств с использованием построения графика квадратичной функции. Сформировать первичные умения выделять квадратные неравенства среди других неравенств с одной переменной; за готовыми графиками квадратичной функции находить развязки соответствующих квадратных неравенств, а также выполнять последовательные действия в соответствии с изученной схемы для отыскания решений квадратных неравенств различного вида.

Тип урока: формирование знаний, выработка первичных умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 17.

Ход урока

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Учитель собирает тетради для проверки и оценки качества выполнения домашней самостоятельной работы; ученикам можно раздать правильные решения для самостоятельного анализа ошибок (если такие есть).

III. Формулировка цели и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся

Учитель сообщает ученикам о том, что кроме чисто научного интереса квадратичная функция и построение ее графика имеют свое практическое применение: построение графика квадратичной функции является одним из средств решения неравенств соответствующего вида. Такие неравенства называются квадратных неравенств (или неравенств второй степени). Цель данного урока - изучение определение квадратных неравенств, схемы их решения, а также формирование умений применять изученное определение и схему для того, чтобы отличать квадратные неравенства от других неравенств с одной переменной и находить решения квадратных неравенств.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Среди приведенных уравнений укажите уравнения, задающие квадратичную функцию:

1) у = 2х2 + х - 1;

2) у2 = х + 1;

3) у2 = х2 - 1;

4) у = -х - х2;

5) у2 = х2;

6) у = -х2.

Для указанных функций назовите коэффициенты квадратного трехчлена (в формуле у = ах2 + bх + с).

2. Даны условия:

а) а > 0; D > 0; c 0;

б) а > 0; D = 0; c > 0;

в) а 0; D 0; c 0;

г) а 0; D > 0; c = 0;

д) а > 0; с = 0; D = 0.

Из предложенных рисунков графиков функции у = ах2 + bх + с выберите тот, который удовлетворяет каждую из данных условий:

3. Найдите нули функции (если они существуют):
1) у = 2х - 3;

4. 2) у = ;

5. 3) у = ;

6. 4) у = х2 - 3х + 2.

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Определение квадратного неравенства. Примеры квадратных неравенств с разными коэффициентами.

2. Схема решения квадратных неравенств с помощью построения графика соответствующей квадратичной функции.

3. Различные способы расположения графика квадратичной функции y = ax2 + bx + c относительно оси Ох в зависимости от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена ах2 + bх + с.

Опорный конспект № 17

Методический комментарий

Изучение вопроса о решение квадратных неравенств начинается с формирования знаний о содержании определения квадратных неравенств. Следует подчеркнуть, что так же, как и квадратный трехчлен, квадратное неравенство может иметь «сокращенный» вид (см. примеры, приведенные в опорном конспекте № 17). Этот момент является принципиальным, поскольку, как свидетельствует опыт, достаточно большое количество учащихся, решая такие неровности, допускают ошибку: неравенства вида ах2 + с > 0 заменяют на нерівносильну неравенство х > .

Схема решения квадратных неравенств осваивается учащимися в 9 классе, поэтому основанная на использовании графика соответствующей квадратичной функции и предусматривает нахождение промежутков постоянства знака функции по эскизу графика.

На этапе формирования умений решать квадратные неравенства по изученной схеме следует требовать от учащихся четкого выполнения следующих действий: свести неравенство к виду квадратной; отыскать действительные корни квадратного трехчлена (если они существуют) и построить эскиз графика квадратичной функции; записать промежуток, на котором функция приобретает знака, что соответствует данной квадратичной неравенства (с учетом строгости знака неравенства).

Предупреждением возможных трудностей учащихся при решении квадратных неравенств является работа с определенного обобщения случаев взаимного расположения графика квадратичной функции относительно координатной оси абсцисс в зависимости от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта соответствующего квадратного трехчлена.

VI. Формирование умений

Устные упражнения

1. Даны неравенства:

а) ах2 + bx + c > 0;

б) ах2 + bx + c 0;

в) ах2 + bх + с > 0;

г) ах2 + bx + c 0.

Найдите решение каждой из данных неравенств по графику функции у = ах2 + bх + с, изображенным на рисунке:

2. Есть число: 0; ; -3 - решением неравенства:

1) 2х + 3 0;

2) х2 ≤ 0;

3) х2 > 2?

3. Какое из неравенств не является квадратной?

1) х2 - 44 > 0;

2) х2 + 3 0;

3) х2 + 3х3 > 0;

4) -х2 - 5 ≤ 0.

Письменные упражнения

Содержание упражнений, предлагаемых к решению на уроке, может быть таким:

1) найти решение квадратного неравенства с готовым графиком соответствующей квадратичной функции;

2) решить по изученной схеме квадратные неравенства;

3) решить неравенства второй степени, сводящиеся к квадратным равносильными преобразованиями;

4) на повторение: установить свойства функции по данному графику этой функции.

Методический комментарий

Упражнения к уроку направленные на усвоение учащимися сформулированного определения квадратного неравенства и выработка умения выделять квадратные неравенства среди других неравенств с одной переменной, опираясь на изученное определения, решения предложенных выше упражнений также будет способствовать усвоению учащимися рассматриваемой схемы решения квадратных неравенств и выработке умений ее применять для отыскания решений как квадратных неравенств, так и неравенств, сводящихся к квадратным путем равносильных преобразований. Решение упражнений на повторение - на применение свойств функции - способствовать подготовке учащихся к предстоящей контрольной работы.

VII. Итоги урока

Контрольные вопросы

1. Определите знак коэффициента а, коэффициента с, дискриминанта D по графику функции у = ах2 + bх + с, изображенным на рисунке:

2. Которая квадратное неравенство имеет решением промежуток (см. рисунки выше):

1) x [1; 3];

2) x R;

3) х (-∞; -4) (0; +∞);

4) решений нет.

VIII. Домашнее задание

1. Изучить определение квадратного неравенства, схему ее решения (см. опорный конспект № 17).

2. Решить упражнения на применение изученного определения и схемы, аналогичные по содержанию и уровню сложности решенным на уроке.

3. Повторить: как найти область определения функции, заданной уравнением вида y = f(x); определение понятие системы неравенств, а также содержание понятия «дискриминантов квадратного уравнения».