УРОК № 23

Тема. Функция , ее свойства и график

Цель урока: закрепить знания учащихся о определение, вид графика и алгоритм построения графика квадратичной функции. Исследовать свойства квадратичной функции и обобщить эти наблюдения, дополнив ими знания о свойствах квадратичной функции. Закрепить умение распознавать квадратичную функцию среди других элементарных функций, находить координаты вершины и направление ветвей графика квадратичной функции, выполнять построение графика квадратичной функции с изученными алгоритмами. Выработать умение применять выполнены на уроке наблюдения для аналитического исследования свойств квадратичной функции общего вида. Повторить общие свойства функций, а также схемы выполнения основных видов геометрических преобразований графиков функций.

Тип урока: формирования знаний и умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 16.

Ход урока

I. Организационный этап
Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Одним из способов проверки уровня усвоения учащимися знаний и умений на предыдущем уроке является математический диктант (см. ниже).

Математический диктант

1. Из графика какой функции вида у = ах2 можно получить параллель ным переносом график функции:

1 вариант: у = -3х2 + 5х - 4;

2 вариант: у = -2х2 + 3х - 2?

2. Укажите координаты вершины параболы:

1 вариант: у = -х2 + 6х - 8;

2 вариант: у = -х2 - 6х - 7.

3. Или пересекает ось абсцисс график функции:

1 вариант: у = -х2 + х - 6;

2 вариант: у = -х2 - х + 6?

4. Вверх или вниз) направлены ветви параболы:

1 вариант: у = х2 + 2х + 5;

2 вариант: у = х2 + 3х + 6?

5. Постройте эскиз графика функции:

1 вариант: у = х2 - 6х + 8;

2 вариант: у = -х2 + 6х - 7.

Если при решении упражнений домашнего задания учащиеся имели значительные трудности, тогда целесообразно провести проверку домашнего задания по образцу.

III. Формулировка цели и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся

Для осознания учащимися необходимости изучения материала, предложенного на текущий урок, учитель может провести работу, которая предусматривает решение учащимися задач на выполнение таких умственных действий, как сравнение (нахождение общего и отличного), а также обобщение и формулирование гипотезы. Например, учитель предлагает учащимся такие задания.

Задача 1

Рассмотрите графики нескольких квадратичных функций, ветви которых направлены вверх, и определите по этим графикам промежутки возрастания каждой из функций; сравните полученные результаты. Что вы заметили? Теперь определите промежутки убывания этих самых функций; сравните полученные результаты. Что вы заметили? Сформулируйте предположения.

Задание 2

Рассмотрите графики нескольких квадратичных функций, ветви которых направлены вверх, и определите по этим графикам область определения каждой из функций. Сравните результаты. Что вы заметили? Сформулируйте предположения.

После проведенной работы учащиеся должны сформулировать вопрос (проблему): не можно обобщить в виде математических утверждений связь между коэффициентами в уравнении квадратичной функции и ее свойствами? Поиск ответа на поставленный вопрос и составляет основную дидактическую цель урока.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Укажите координаты вершины, направление ветвей и уравнение оси симметрии параболы:

1) у = х2 - 1;

2) у = -2х2 + 5;

3) у = (х - 2)2;

4) у = -3(х + 1)2 - 4.

2. Определите координаты точки пересечения с осью ординат параболы:

1) у = 2х2 - 5х + 2;

2) у = -х2 + 3;

3) у = 2х - 3х2.

3. На рисунке изображен график функции f. Определите:

1) при каких х функция возрастает; убывает;

2) при каких х функция приобретает значений, равны нулю, больше нуля, меньше нуля;

3) при каких значениях х на отрезке [1;7] функция приобретает наименьшее значение, наибольшее значение.

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Область определения квадратичной функции; область значений квадратичной функции.

2. Промежутки возрастания и промежутки убывания функции y = ax2 + bx + c.

3. Промежутки постоянства знака функции y = ax2 + bx + c.

Опорный конспект №16

Методический комментарий

Обобщение сведений об основных свойствах функции у = ах2 + bх + с, а 0, происходит как результат наблюдений, которые ученики проводят на данном уроке и проводили на предыдущем уроке при работе с определением свойств квадратичных функций с построенными графиками. Главная цель этой работы (и на этом следует акцентировать внимание учащихся) - показать, что свойства квадратичной функции (как и любой функции) заложены в самом уравнении функции, а следовательно, могут быть обнаружены аналитически (определением знака коэффициента а, координат вершин параболы, а также знака дискриминанта и корнями квадратного трехчлена ах2 + bх + с); график функции лишь наглядно демонстрирует эти свойства.

VI. Формирование умений

Устные упражнения

1. Графиком некоторой квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх; координаты вершины (-3; -2); точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты -4 и-2. По этим данным назовите:

1) область определения этой функции;

2) область значений этой функции; ее наименьшее значение; существует наибольшее значение функции;

3) промежуток, на котором функция возрастает:

4) промежуток, на котором она приходит:

5) промежуток, на котором функция принимает положительные значения:

6) промежуток, на котором функция отрицательна.

Письменные упражнения

Примерное содержание упражнений может быть таким:

1) не выполняя построения графика функции у = ах2 + bх + с, исследовать ее свойства;

2) построить график функции у = ах2 + bх + с и по графику исследовать ее свойства;

3) решить (графически и аналитически) уравнения вида f(x) = ах2 + bх + с (f(x) - какая-либо из элементарных функций переменной х) и с помощью графика функции у = ах2 + bх + с решить неравенства ах2 + bx + c > 0, ах2 + bх + с 0;

4) на повторение: упражнения на геометрические преобразования графиков функций.

Методический комментарий

Устные упражнения способствуют закреплению учащимися обобщенных свойств квадратичной функции и схем действий при аналитическом исследовании ее свойств.

При решении письменных упражнений на уроке следует требовать от учащихся четкого воспроизведения записанных обобщенных свойств и действий в соответствии с ними.

(Например, ученики должны воспроизводить такие соображения: чтобы найти область значений квадратичной функции, определяем знак старшего коэффициента и ординату вершины параболы по формуле; поскольку старший коэффициент положительный, то область значений функции - промежуток [у0; + °°) и т. д.)

VII. Итоги урока

Контрольные вопросы

1. Каким числом может быть коэффициент а в уравнении у = ах2 + 6х + с, если эта функция убывает на промежутке:

1) х ;

2) х ?

2. Куда направлены ветви параболы, которая является графиком функции у = ах2 + bх + с, если функция приобретает:

1) наибольшее значение, равное 3;

2) наименьшего значения 3?

Есть в этой функции промежутки, на которых она положительная? отрицательная?

VIII. Домашнее задание

1. Повторить определение квадратичной функции и вид ее графика и алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх + с.

2. Изучить алгоритм аналитического исследования квадратичной функции.

3. Выполнить самостоятельную работу № 5 [8] по двум вариантам.

4. Повторить: определение неравенства с одной переменной и сопутствующие понятия; схемы решения линейных неравенств с одной переменной.