АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§32. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.

3. Использование монотонности функции при решении уравнений.

Рассмотрим уравнение f(х) = g(x) при условии, что f(x) - возрастающая на некотором промежутке [a;b] функция, a g(x) - убывающая на этом промежутке функция (или стала) (рис. 54 - рис. 56).

Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет одно решение (рис. 54 и рис. 56) или не имеет решений вообще (рис. 55). Аналогично рассматривается уравнение и в случае, когда f(x) - убывает на [a;b], a g(x) - возрастает на этом промежутке или является постоянной.

Следовательно, если в уравнении f(x) = g(x) одна из функций f(x) или g(x) возрастает на некотором промежутке, а другая - убывает на этом промежутке или одна функция есть монотонной, а другая - постоянной, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более чем один корень на этом промежутке.

Зачастую корнем является целое число, которое можно найти подбором, начиная с небольших по модулю чисел: 0; ±1; ±2 ...

Пример. Решите уравнение

Решения. ОДЗ: х > 0. Функция f(x) = возрастает на (0;+∞). Функция а поэтому и функция - спадает на (0;+∞). Поэтому уравнение имеет не более чем один корень. Легко увидеть, что х = 1 - корень уравнения других корней нет.