АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§31. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ С ПАРАМЕТРАМИ.

2. Решения неравенств с параметрами.

Пример 1. Решите неравенство: ах ≤ 2.

Решения. При решении неровности следует рассмотреть случаи а 0, а = 0, а > 0.

1) а 0. Поделим левую и правую части неравенства на число а. Поскольку а 0, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Имеем x ≥ 2/a.

2) а = 0. Имеем 0 ∙ х ≤ 2, х - любое число.

3) а > 0. Поделим левую и правую части неравенства на число а. Поскольку а > 0, то приділенні на положительное число знак неравенства не меняется. Имеем x ≤ 2/a.

Ответ. Если а 0, то х ≥ 2/a; если а = 0, то х - любое число; если а > 0, то х ≤ 2/a.

Пример 2. Для всех значений параметра а (а > 0, а ≠ 1) решите неравенство

Решения. Рассмотрим два случая: 1) а > 1; 2) 0 а 1.

1) а > 1. Логарифмуємо обе части неравенства по основанию а. Поскольку а > 1, то оставляем знак неравенства без изменений:

Замена log_а х = t. Имеем t² + t - 4 ≥ 0. Откуда t ≤ -4 или t ≥ 1 (рис. 52). log_a x ≤ -4 или log_a x ≥ 1. Поскольку а > 1, то имеем 0 х ≤ а^-4 или х ≥ а.

2) 0 а 1. Логарифмуємо обе части неравенства по основанию а. Поскольку 0 а 1, то меняем знак на противоположный:

Замена log_a х = t. Имеем t² + 3t - 4 ≤ 0. Откуда -4 ≤ t ≤ 1 (рис. 53). Поэтому -4 ≤ log_a х ≤ 1. Учитывая еще раз, что 0 а 1, получим 0 х ≤ а^-4; а ≤ х ≤ 1/а⁴.

Ответ. Если 0 а 1, то а ≤ х ≤ 1/а⁴; если а > 1, то 0 ≤ х ≤ а^-4 или х ≥ а.