АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§31. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ С ПАРАМЕТРАМИ.

1. Решение уравнений с параметрами.

Пример 1. Решите уравнение

Решения. При решении уравнения следует рассмотреть случаи, когда a² - 9 = 0 (где происходит, когда а = 3 или а = -3) и когда а² - 9 ≠ 0. Итак:

1) а = 3, тогда уравнение будет иметь вид 0 ∙ х = 0 и х - любое число;

2) а = -3, уравнение будет иметь вид 0 ∙ х = -6 и уравнение не имеет решений;

3) а ≠ 3; а ≠ -3, тогда

Ответ. Если а = 3, то х - любое число; если а = -3, то уравнение не имеет решений; если а ≠ 3; а ≠ -3, то х = 1/(a + 3).

Пример 2. Решите уравнение ах² - 2х - 1 = 0.

Решения. Если параметр а = 0, то получим линейное уравнение, если а ≠ 0, то квадратное. Такие случаи и следует рассмотреть.

1) а = 0; -2х - 1 = 0; х = -0,5.

2) а ≠ 0. Находим дискриминантов уравнение D = 4 + 4а. Если D ≥ 0, то есть 4 + 4 ≥ 0; ≥ -1, то уравнение будет иметь два корня (при условии, что а ≠ 0), разные или одинаковые:

Если же 4 + 4а 0, т.е. а -1, то уравнение не будет иметь действительных корней.

Ответ. Если а = 0, то х = -0,5; если а -1, то уравнение не имеет решений; если а ≥ -1 и а ≠ 0, то

Пример 3. Решите уравнение 7 ∙ 2^х + 12 = а + а ∙ 2^х.

Решения. Имеем (7 - а) ∙ 2^х = а - 12.

1) Если а = 7, то уравнение 0 ∙ 2^х = -5 - решений не имеет.

2) Если а ≠ 7, то Это уравнение будет иметь решение, если есть а (7;12). В этом случае

Если же а 7 или а ≥ 12, то решений не имеет.

Ответ. Если а ≤ 7 или а ≥12, то уравнение не имеет решений; если