УРОК № 23

Тема. Координаты середины отрезка

Цель урока: вывод формул для нахождения координат середины отрезка и формирование умений учащихся применять эти формулы к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Декартовы координаты и векторы на плоскости» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: записывают и доказывают формулы координат середины отрезка. Применяют изученные формулы к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и правильность их выполнения (за записями, сделанными на доске до начала урока).

1) В(2; 2), А(2; -2), D(-2; -2) (рис. 128). PABCD = 4 ∙ 4 = 16. SABCD = 42 = 16.

2) а) у = 0, х ≤ 2 (рис. 129);

б) -2 ≤ y ≤ 2, x ≥ 0 (рис. 130);

в) |x| ≤ 2 ≥ 1 (рис. 131);

г) |х| ≥ 2 ≤ -2 (рис. 132).

Фронтальная беседа

1. 1) Как называются две перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в начале отсчета?
2. 2) Как называют плоскость, на которой задана система координат?
3. 3) Как называют координатную прямую, которую проводят горизонтально? вертикально?
4. 4) Какую координату точки ставят на первое место, а какую на второе?
5. 5) Где находятся точки, ординаты которых равны нулю?
6. 6) Где находятся точки, абсциссы которых равны нулю?
7. 7) Из точек A(1; 3), B(0; -11), C(-1; -10), D(-3; -11), Е(50; 0), F(0; 17), Q(-3; -2), S(-9; 7), Р(-5; 0) выберите точки, которые лежат:

а) выше оси Ох;

б) слева от оси Оу;

в) на оси Ох;

г) на оси Оу.

II. Восприятие и осознание нового материала

Пусть отрезок АВ имеет конце А(х1; у1) и В(х2; у2) и пусть М(х0; у0) - середина отрезка АВ (рис. 133), тогда MD - средняя линия трапеции с основаниями х1 и х2, МС - средняя линия трапеции с основаниями у1 и у2. По свойству средней линии трапеции имеем:

, . (1)

Формулы (1) справедливы для любого положения отрезка АВ (рис. 134).

Формулы (1) позволяют по координатам концов отрезка, находить координаты середины отрезка, а также по координатам середины и одного из концов отрезка, находить координаты второго конца.

Выполнение упражнений

1. 1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:

а) А(5) и(9);

б) А(-3) и В(7);

в) А(а) и В(b).

1. 2. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:
   а) А(3; 2) и В(1; 4);
2. 3. б) А(-3;-2) и В(-1; -2);
3. 4. в) A(a; b) и B(c; d).

III. Закрепление и осмысление нового материала

Выполнение заданий

1. 1. Какие координаты точки С отрезка АВ, если АС = ВС и А(0; 2), В(2; 0)? (Ответ. C(1; 1))
2. 2. Дано С(2; 6), А(4; 2). Найдите координаты точки В, если известно, что АС = = ВС и точки А, В, С лежат на одной прямой. (Ответ. В(0; 10))
3. 3. Найдите координаты середин сторон треугольника ABC, если А(2; 0), В(2; 2), С(0; 2). (Ответ. A1(1; 2), В1(1; 1), C1(2; 1).)
4. 4. Окружность с центром М(4; 3) проходит через начало координат. Укажите координаты точки N, которая диаметрально протилежить точке О (начала координат). (Ответ. N (8; 6))
5. 5. Точки М(-2; 3), N(3; 5), К(3; -5) -середины сторон треугольника ABC. Найдите координаты вершин этого треугольника. (Ответ. А(-2; -7), В(-2; 13), С(8; -3))
6. 6. Если А(хА; уА), В(хB; B), С(хC; C) - координаты вершин треугольника, то М - точка пересечения медиан треугольника. Докажите это.
7. 7. Четырехугольник ABCD задан координатами вершин А(-2; 3), В(0; 6), С(5; 7), D(3; 4). Докажите, что этот четырехугольник - параллелограмм.

Доведение

Докажем, что диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам, то есть середины диагоналей совпадают с точкой их пересечения.

Координаты середины диагонали АС: х0 = = 1,5, у0 = = 5, а координаты середины диагонали BD: х'0 = = 1,5, y'0 = = 5.

Диагонали АС и BD имеют общую середину (1,5; 5), следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм.

1. 8. Найдите координаты точки D, если ABCD - параллелограмм и А(1; 3), В(3; 1), С(3; 3). (Ответ. D(1; 5))

IV. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулы координат середины отрезка.
2. 2. Выполнить задание.
3. 1) Точка А(-1; 2) лежит на окружности с центром (5; -5). Найдите координаты точки В диаметра АВ.
4. 2) Даны точки А(-1; 3), В(3; 6), К(1; 5). Есть точка К серединой отрезка АВ?
5. 3) Даны точки А(0; 3), В(3; 8) и С(5; 4). Найдите координаты концов средней линии треугольника ABC, параллельной АС.

V. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты его концов?