УРОК № 22

Тема. Функция , ее свойства и график

Цель урока: сформировать знания учащихся о определение, вид графика и алгоритм построения графика квадратичной функции. Сформировать первичные умения распознавать квадратичную функцию среди других элементарных функций, находить координаты вершины и направление ветвей графика квадратичной функции, выполнять построение графика квадратичной функции с изученными алгоритмами. Повторить общие свойства функций, а также схемы выполнения основных видов геометрических преобразований графиков функций.

Тип урока: формирование знаний, выработка первичных умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 15, раздаточный материал (карточки с решениями домашних упражнений).

Ход урока

И. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Учитель собирает тетради с выполненным домашним заданием на проверку (работы можно оценить как домашнюю самостоятельную работу). На уроке можно озвучить самые сложные моменты домашнего задания. Правильные решения можно дать учащимся для самостоятельной проработки в виде раздаточного материала.

III. Формулировка цели и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся

Если учащиеся имеют хотя бы первичное представление о структуре школьного курса алгебры (эту информацию учитель мог предоставить учащимся ранее, еще в начале изучения данного раздела), то они знают, что функциональная линия является одной из пяти основных содержательных линий школьного курса алгебры, а потому изучение способов построения графиков функций путем геометрических преобразований связано с необходимостью рассмотрения иных, кроме названных ниже, элементарных функций. Также ученики должны осознать тот факт, что, изучив способы геометрических преобразований графиков функций, можно построить график любой алгебраической функции, уравнение которой образовано из простейших уравнений функций: y = kx; у = ; у = х2; у = х3; у = . Поэтому вполне логично после изучения способов преобразований графиков элементарных функций изучить вопрос о других, помимо названных, виды функций и их графики. Одной из таких функций является функция, график которой можно образовать из графика функции у = х2 путем выполнения одного или нескольких геометрических преобразований, - квадратичная функция. Эти слова учителя определяют основную дидактическую цель урока.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Выделите полный квадрат в выражении:

1) х2 + 2х + 1;

2) х2 + 2х + 2;

3) х2 + 2х;

4) -х2 - 2х - 1;

5) -x2 - 2x - 2;

6) -х2 - 2х + 2.

2. Опишите превращения, с Помощью которого из графика y = f(x) можно построить график функции g(x), если:

1) g(x) = -f(x);

2) g(x) = 2f(x);

3) g(x) = f(x);

4) g(x) = f(x + 2);

5) g(x) = f(x) - 2.

3. Решите уравнение:

1) х2 + х = 0;

2) x2 + 2x + 1 = 0;

3) x2 - 3x + 2 = 0;

4) 2х2 - 5х + 2 = 0.

4. Назовите коэффициенты квадратного трехчлена:

1) 3х2 - 5х + 2;

2) х2 - 5х;

3) -х2 - 2;

4) -х2;

5) х2.

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Определение квадратичной функции.

2. График квадратичной функции.

3. Алгоритм построения графика функции y = ax2 + bx + c.

Опорный конспект № 15

Методический комментарий

На данном уроке начинается кропотливая работа по изучению свойств квадратичной функции и выработки устойчивых умений учащихся выполнять построение графика квадратичной функции по общей схеме [7, с. 48].

Традиционно изучение этого вопроса проводилось в два этапа: сначала изучался вопрос о виде графика и свойства функции у = ах2, а дальше уже изучались свойства и вид графика функции у = ах2 + bх + с. Однако согласно изменениям в программе 12-летней школы в сравнении с ранее действующей программой изучения вопроса о виде графика и свойства квадратичной функции в 9 классе 12-летней школы целесообразно провести дедуктивным методом: сформулировать общее определение квадратичной функции у = ах2 + bх + с, потом доказать, что ее графиком будет парабола определенного вида (через преобразование уравнения квадратичной функции выделения квадрата двучлена), после чего сформулировать общий алгоритм построения графика квадратичной функции; а уже после этого рассмотреть частные случаи квадратичной функции и сделать соответствующие поправки к общего алгоритма построения ее графика.

При формировании знаний учащихся о содержании определения квадратичной функции следует обратить внимание на тот факт, что в определении указано лишь ограничение для старшего коэффициента квадратного трехчлена в правой части уравнения у = ах2 + bх + с, а это означает, что другие коэффициенты каждый в отдельности и вместе могут приобретать различные по знаку значения, а также равняться 0 (следует рассмотреть соответствующие примеры).

При изучении вопроса о построении графика квадратичной функции следует напомнить ученикам, что график функции у = х2, с которого, собственно, и начинается построение графика квадратичной функции, строится по точкам (с учетом симметричности параболы).

VI. Формирование первичных умений

Устные упражнения

1. Какая из приведенных функций является квадратичной:
1) у = х2;

2) у = х2 + 2;

3) у = -х2 - 2х + 1;

4) у = х2 - х + х3?

2. На рисунке изображен график функции у = ах2 + bх + с. Использовав представленные на рисунке условия, укажите:

1) знак числа а в уравнении у = ах2+Ьх + с;

2) координаты вершины параболы;

3) ось параболы.

3. Определите координаты точек пересечения с осями Ох и Оу графика функции:

1) у = х2 - 2х + 1;

2) у = х2 - 3х + 2;

      3) у = х2 + х + 2.

Письменные упражнения

Содержание упражнений урока может быть таким:

1) определить, является ли данная функция квадратичной;

2) по данным уравнением квадратичной функции определить направление ветвей, координаты вершины, нули функции (если они есть) и координаты точки пересечения параболы с осью ординат;

3) построить график квадратичной функции общего вида и отдельных случаев;

4) на повторение: для функций, графики которых будут построены в течение урока, определить область значений, промежутки возрастания и убывания, промежутки, на которых функция положительна или отрицательна.

Методический комментарий

Как устные, так и письменные упражнения урока предусматривают закрепление знаний учащихся о содержании изученных на уроке понятий и выработку умений использовать эти понятия и алгоритмы для построения графиков квадратичных функций. Упражнения на повторение (на определение основных свойств квадратичной функции по выстроенному графику) направлены, во-первых, на выработку навыков работы с графиками, а во-вторых, подготавливают учащихся к восприятию материала следующего урока (обобщение свойств квадратичной функции).

VII. Итоги урока

Контрольные вопросы

1. Опишите, что представляет собой график функции:
1) y = х2;

2) у = 2х2;

3) y = 2(x - 1)2 + 1;

4) у = 2х2 - 4х + 1.

2. Какой из приведенных графиков соответствует уравнению у = х2 - 2х? Ответ обоснуйте.

VIII. Домашнее задание

1. Изучить определение квадратного уравнения, алгоритм построения графика квадратичной функции (см. опорный конспект № 15).

2. Решить упражнения разного уровня сложности на применение изученного алгоритма.

3. Повторить свойства функции, формулу корней квадратного уравнения.