УРОК 23

Тема. Решения тригонометрических уравнений способом сведения к одной тригонометрической функции

Цель урока: формирование умений учащихся решать тригонометрические уравнения способом сведения к одной тригонометрической функции (алгебраический способ).

И. Проверка домашнего задания

1. Ответы на вопросы, возникшие у учащихся при выполнении домашних заданий.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Решите уравнение:

a) cosx = . (3 балла)

б) tg (х + 2) = 0. (3 балла)

в) 1 + ctg4x = 0. (3 балла)

г) . (3 балла)

Вариант 2

Решите уравнение:

a) sinx = . (3 балла)

б) ctg (х - 3) = 0 . (3 балла)

в) - tg2x = 0. (3 балла)

г) . (3 балла)

Ответы: В-1. а) решений нет; б) - 2 + πn, nZ; в) , nZ; г) , nZ.

В-2. а) решений нет; б) 3 + + πn, nZ; в) +, nZ; г) ± - + πn, nZ.

II. Восприятие и осознание нового материала

Некоторые тригонометрические уравнения путем тождественных преобразований можно привести к уравнениям с одной тригонометричною функцией, затем сделать замену и привести к алгебраического уравнения.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите уравнение sin2х + 4cos x = 2,75.

Заменив sin2x 1 - cos2x, получим:

1 - cos2x + 4cos х - 2,75 = 0,

- cos2x + 4 cos х - 1,75 = 0,

cos2 x - 4cos x + 1,75 = 0.

Пусть cos x = t, тогда t2 - 4t + 1,75 = 0.

Отсюда t1 = . t2 = >1.

Поскольку t2 > 1, то cos x = - решений нет.

Поскольку t1 = , то cos х = , х = ± + 2 πn, nZ.

Ответ: ± + 2 πn, nZ.

Пример 2. Решить уравнение tg x + 3ctg х = 4.

Решение

tg x + 3ctg х = - 4, tg х + = 4.

Пусть tg x = t, тогда t + = 4, t2 - 4t + 3 = 0, t1 = 1 и t2 = 3.

Имеем: 1) tg x = 1, х = + πn, nZ.

2) tg х = 3, х = arctg 3 + πn, nZ.

Ответ: + πn, arctg3 + πn, nZ.

III. Формирование умений и навыков учащихся решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим

Выполнение упражнений______________________________

Решите уравнение.

1. а) 2sin2x + cos x - 1 = 0;

б) tg x - 2ctg x + 1 = 0;

в) 6sin2x + 5cos х - 2 = 0;

г) tg x + 2ctg х = 3.

Ответ: а) 2πn, ± + 2 πn, nZ; б) + πn, - arctg 2 + πn, nZ; в) ± + 2πn, Z; г) arctg 2 + πn, + πn, nZ.

2. a) cos 2х + sin x = 0;

б) cos 2х = 3 + 7cos x;

в) 3 + 5sin 3x = cos 6х;

г) 3cos2 6х + 8sin 3x cos 3x - 4 = 0.

Ответ: а) + 2πn, (-1)n+1+ πn, nZ; б) ± + 2 πn, nZ; в) (-1)n+1 + , nZ; г) + , (-1)narcsin+ nZ.

IV. Итоги урока

V. Домашнее задание

Раздел II § 3 (1). Упражнения: № 2 (13; 23; 30; 37).