УРОК 22

Тема. Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнения tg t = a.

Цель урока: зсвоєння учащимися вывода и применения формул для нахождения корней уравнения tg t = a (ctg t = а).

Оборудование: Таблица «Уравнения tg t = а и ctg t = a».

И. Проверка домашнего задания

1. Проверить наличие домашних заданий в тетрадях учащихся. Сверить решение № 1 (8; 18) по записям на доске.

Математический диктант

Запишите решения уравнений:

1) sin x = 0; 2) sin x = 1; 3) sin x = -1; 4) sin2x = 0; 5)sin x = ; 6) sin x = -; 7) cos x = 0; 8) cos x = 1; 9) cos x = -1; 10) cos = 1; 11) cos x = ; 12) cos x =-.

Ответ: 1) πn, nZ; 2) +2πn, nZ; 3) -+2πn, nZ; 4) , nZ; 5) (-1)n+1 + πn, nZ; 6) (-1)n+1 + πn, nZ;

7) + πn, nZ; 8) 2πn, nZ; 9) n + 2πn, nZ; 10) 4πn, nZ; 11) ± + 2πn, nZ; 12) ± + 2πn, nZ.

II. Сообщение темы урока

III. Восприятия и осознания материала о решения уравнения tg t = a (ctg t = a)

Демонстрируется таблица 10.

Таблица 10

Объяснение учителя

Решения уравнения tg t = а удобно проиллюстрировать с помощью линии тангенсов (рис. 124). tg t - это ордината точки пересечения прямой ОРt с линией тангенсов. Отложим на оси тангенсов число а, через эту точку и начало координат проведем прямую, которая пересечет единичный круг в двух точках и , тогда

t = arctg a + πn, nZ (1)

Следовательно, уравнение tg t = а при любом значении а имеет решение.

Уравнения ctg t = а, где а ≠ 0 равносильно уравнению tg t = .

Однако можно доказать, что решение уравнения ctg t = а можно записать в виде:

t = arcctg a + πп, nZ (2)

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите уравнение tg x = .

Решение

По формуле (1) находим х = arctg + πn, nZ.

Поскольку arctg = , то имеем: х = + πn, nZ.

Ответ: + πn, nZ.

Пример 2. Решите уравнение tg х = 2.

Решение

По формуле (1) имеем: х = arctg 2 + πn, nZ. Значение arctg 2 можно найти с помощью микрокалькулятора arctg2 1,1, тогда х 1,1 + πn, nZ.

Ответ: arctg 2 + πn 1,1 + πn, nZ.

Пример 3. Решите уравнение ctg x - = 0.

Решение

ctg х - = 0; ctg х = ; tg х = , x = arctg + πn = + πn, nZ.

Ответ: + πn, nZ.

IV. Осмысление изученного материала

Выполнение упражнений_____________________________

Решите уравнение.

1. a) tg x + = 0; б) ctg x + 1 = 0; в) tg x - 1 = 0; г) ctg x - 1= 0.

Ответ: а) - + πn, nZ; б) + πn, nZ; в) + πn, nZ; г) + πn, nZ.

2. а) ; б) .

Ответ: а) 3 πn, nZ ; б) n + 2 πn, nZ.

3. a) 3tg2 x + 2 tg x - 1 = 0;

б) 2ctg2 x + 3ctg x - 2 = 0;

в) tg x - 2ctg x + 1 = 0;

г) tg2 x - 3tg x = 0.

Ответ: а) -+ πn и arctg + πn, nZ;

б) arctg 2 + πn и-arctg + πn, nZ;

в) + πn и-arctg 2 + πn, nZ;

г) πn и + πn, nZ.

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание

Раздел II § 2 (3). Вопросы и задания для повторения раздела II № 13-15. Упражнение№ 1 (4; 11; 12; 15; 16).