АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§31. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ С ПАРАМЕТРАМИ.

Обычно в уравнениях, неравенствах, системах буквами обозначают неизвестные величины, но иногда уравнение, неравенство, система кроме таких букв содержит еще букву, которая обозначает неизвестное постоянное число - параметр.

Тогда мы имеем дело не с одним уравнением или неравенством или системой, а с их бесконечным количеством, достаются при различных значениях параметра. При этом может случиться так, что при некоторых значениях параметра уравнение, неравенство или система не имеет решений, при некоторых имеет единственное решение, при некоторых - множество и т.д.

Решить уравнение (неравенство, систему) значит для каждого значения параметра установить, имеет ли уравнение (неравенство, система) развязки; если так, то установить эти развязки, которые в большинстве случаев зависят от параметра.

К сожалению, универсальных методов решение задач с параметрами нет. Наиболее общую схему решения можно очертить следующим образом: сначала находят область допустимых значений параметра (если она отличается от множества всех действительных чисел), затем эту множество разбивают на случаи, в каждом из которых ответ одна и та же (например, уравнение не имеет решений или решение выражается одним и тем самым выражением через параметр).

Заметим, что важным этапом решения задач с параметрами является запись ответа, особенно для уравнений (неравенств, систем), решение которых, разветвляется (содержит несколько случаев) в зависимости от значений параметра. В ответе до таких задач собираем все ранее полученные результаты, обычно записывая их в форме «если..., то...».

Далее рассмотрим примеры уравнений, неравенств, систем, в которых неизвестная величина обозначена буквами х, у, а параметр - буквой а.