УРОК 21

Тема. Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнения sin t = а

Цель урока: усвоение учащимися вывода и применения формул для корней уравнения sin t = а.

Оборудование: Таблица «Уравнения sin t = а».

И. Проверка домашнего задания

1. Ответы на вопросы, возникшие при выполнении домашних заданий.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Решите уравнение:

а) 2cos = . (3 балла)

б) 2cos2x + cos x - 1 = 0. (3 балла)

в) 4cos x = 4 - sin x. (3 балла)

г) sin 3x sin x - cos 3x cos x = . (3 балла)

Вариант 2

Решите уравнение :

а) 2 cos = . (3 балла)

б) 2cos2x - cosx - 1 = 0. (3 балла)

в) 8 sin2х + cosx + 1 = 0. (3 балла)

г) sin2 - cos2 = 1. (3 балла)

Ответ:

B-1. a)±+4πn, nZ; б) ±+2πn и π+2πn, nZ; в)2πn, nZ; г) ±+πn,nZ.

В-2. a) ±+, nZ; б) 2πn и ±+2πn, nZ; в) n+2πn, nZ; г) 4πn, nZ.

II. Сообщение темы урока

III. Восприятия и осознания материала о решения уравнения sin t = a

Демонстрируется таблица 9.

Объяснение учителя

1) Если |а| > 1, то уравнение не имеет решений, поскольку |sin x| 1 для любого t.

2) Если |а| 1, то, учитывая, что sin t - ордината точки Рt единичного круга, имеем: ординату, равную а, имеют две точки единичного круга (на оси OY откладываем число а и через эту точку проведем прямую, перпендикулярную оси ординат (рис. 123), которая пересечет окружность в двух токах - и ):

t1 = arcsin a + 2πn, nZ,

t2 = n - arcsin а + 2πn, nZ.

Эти две формулы можно записать в виде одной формулы:

t = (-1)k arcsin a + nk, kZ (1)

Нетрудно убедиться, что при парном k = 2π имеем:

t1 = (-1)2n arcsin а + 2πn или t1 = arcsin a + 2πn, nZ;

при нечетном k = 2n + 1 имеем:

t2 = (-1)2n+1 arcsin а + (2n + 1)n;

t2 = - arcsin а + 2πn + n;

t2 = n - arcsin a + 2πn, nZ.

3) Если а = 1, то, учитывая то, что sint - это ордината точки Pt (единичного круга, имеем: ординату, равную 1, точка Рt образована из точки Р0(1;0) поворотом на угол + 2πn, nZ.

Следовательно, t = + 2πn, nZ. Если а = -1, то t = - + 2πn, nZ.

4) Если а = 0, имеем t = 0 + πn; t = πn, nZ.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите уравнение sinx = .

Согласно формуле (1) имеем: х = (-1)n arcsin + πn, nZ.

Поскольку arcsin = , то х = (-1)n + πn, nZ.

Ответ: (-1)n + πn, nZ.

Пример 2. Решите уравнение sin х = - .

Согласно формуле (1) имеем: х = (-1)n arcsin + πn, nZ.

Поскольку arcsin = - , то х =(-1)n ·+ πn, nZ; х = (-1)n+1 + πn, nZ.

Ответ: (-1)n+1 + πn, nZ.

Пример 3. Решите уравнение sin x = - 1.

Согласно формуле (1) имеем: х = (-1)n arcsin(- 1) + πn, nZ.

Значение arcsin(-1) найдем с помощью микрокалькулятора:

arcsin(- 1) 0,427, тогда х (-1)n · 0,427 + πn, nZ.

Ответ: (-1)n · arcsin(-1) + πn (-1)n · 0,427 + πn, nZ.

IV. Осмысление изученного материала

Комментируемое выполнения упражнений

Решите уравнение.

1. a) 2sin x - 1 = 0; б) 2sin = - 1; в) 2sin = - ; г) 2sin = .

Ответ: а) (-1)n + πn, nZ; б) (-1)n+1+ 2πn, nZ; в) +(-1) n+1+, nZ; г) +(-1)n+1 + 4πn, nZ.

2. a) sin 3x cos x - cos 3x sin х = ;

б) sin 2x cos 2x = - ;

в) sin cos - cossin= ;

г) cos 2x sin 3x + sin 2x cos 3x = 1.

Ответ: а) (-1)n + , nZ; б) (-1)n+1 + , nZ; в) (-1)n+3 πn, nZ; г) +, nZ.

3. а) (2sin x - 1)(3sin x + 1) = 0; б) (4sin 3х - 1)(2sin х + 3) = 0.

Ответ: а) (-1)n+ πn и (-1)n+1arcsin + πn, nZ; б) (-1)n +, nZ.

Таблица 9

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание

Раздел II § 2 (1). Вопросы и задания для повторения раздела II № 13-15. Упражнения№ 1 (6; 7; 8; 14; 17; 18), № 2 (3).