Урок № 21

Тема. Следствия из теоремы о вписанный угол. Решение задач

Цель: добиться усвоения учащимися содержания следствий из теоремы о вписанный угол и способов их доказывания. Сформировать умения:

· воспроизводить содержание изученных утверждений;

· находить на рисунке объекты, свойства которых описывается этими последствиями;

· использовать изученные утверждения при решении задач на вычисление углов в круге.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Наглядность и оборудование: конспект «Углы в окружности».

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Проверку освоения учащимися способов действий, изученных на предыдущих уроках, можно провести в форме самостоятельной работы.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Вершины треугольника АВС делят окружность в отношении 2:3:4. Найдите углы этого треугольника.

2. По рисунку найдите угол х (О - центр круга), α = 21°, β = 49°.

Вариант 2

1. Вершины треугольника АВС делят окружность в отношении 1:3:5. Найдите углы этого треугольника.

2. По рисунку найдите угол х (О - центр круга), α = 19°, β = 47°.

III. Формулировка цели и задач урока

Задача. Три футболиста пробивают штрафные удары по воротам из точек А, В и С (рис. 1). У кого из них угол обстрела ворот наибольший?

Во время обсуждения решения задачи необходимо перейти к ее математической модели и сформулировать проблему (как сравнить вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу?)

Понятно, что решение этой проблемы в виде некоторого правильного утверждения для вписанных углов с последующим доведением этого утверждения, а также овладение способами применения этого утверждения и является основной целью урока.

IV. Актуализация опорных знаний

Фронтальная беседа

1. Вершина угла лежит на окружности. Или обязательно этот угол является вписанным в окружность?

2. Стороны угла пересекают окружность. Или обязательно этот угол является вписанным в окружность? Может этот угол быть центральным углом?

3. АВ и ВС - хорды окружности с центром в точке О. Что можно сказать об угол ABC и АОС? Запишите правильное равенство для градусных мер этих углов.

4. Точки А и В лежат на окружности. Вписанный угол АСВ равен 90°. Чем является хорда АВ?

V. Усвоение знаний

План изучения материала

1. Следствие 1.

2. Следствие 2.

3. Следствие 3.

4*. Дополнительные последствия. Углы в круге.

@ Содержание и последовательность изучения следствий теоремы о вписанный угол логически обусловлены: следствие 1 (о вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу) основывается непосредственно на утверждении теоремы о вписанный угол. Доказательство следствия 2 (вписанный угол, опирающийся на полуокружность) можно рассматривать как особый случай следствия 1 (когда дуга окружности имеет градусную меру 180°). Что касается следствия 3 (о-центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, и длину медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузы), то доказательства этого утверждения становится очевидным при рассмотрении рисунка в последствии 2 (см. рис. 64 учебника). После доведения следствия 3 желательно рассмотреть интересный факт для прямоугольного треугольника (медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузу, делит прямой угол на углы, равные острым углам прямоугольного треугольника), который желательно зафиксировать в тетрадях учащихся как опорный факт. Содержание основных следствий из теоремы о вписанный угол содержится в конспекте «Углы в окружности».

VI. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. Могут ли два вписанные углы равны друг другу, если они не опираются на одну дугу?

2. Могут ли вписанные углы ABC и АВ, С не равны друг другу? Приведите пример.

3. Или может: а) угол, стороны которого пересекают окружность в концах диаметра, быть острым; б) угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность в концах диаметра, быть острым?

4. Дано: АВ - диаметр, АС = AD (рис. 2). Докажите, что 1 = 2.

5. Дано: АВ - диаметр, АС - хорда (рис. 3). Докажите, что BOC = 2BAC.

6. Дано: О - центр окружности, АС = АО (рис. 4). Найдите угол ВАС.

Выполнение письменных упражнений

1. Треугольник ABC вписан в окружность, центр которой лежит на отрезке АВ. а) Найдите угол В, если A = 65°. б) Найдите медиану, проведенную из вершины С, если АВ = 12 см.

2. По данным рисунка 5 найдите угол х (точка О - центр круга).

3. На окружности отмечены точки А, В и С, причем АС - диаметр окружности, BCA = 60°, ВС = 4 см. Найдите радиус круга.

4* (опорная). Угол между хордой и касательной к окружности, проведенной через конец хорды, измеряется половиной дуги, которая лежит внутри этого угла. Докажите.

5* (опорная), а) Дуги окружности, которые помещаются между двумя параллельными хордами, равны. Докажите, б) Равные хорды стягивают дуги с одинаковой градусной мере и наоборот: дуги с одинаковой градусной мере стягиваются равными хордами. Докажите.

VII. Итоги урока

Найдите на рисунке 6 ошибки.

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание последствий. Решить задачи.

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Может высота, проведенная к ней, равна 6? Ответ обоснуйте.

2. По данным рисунка найдите угол х (точка О - центр круга).

3. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если его медиана равна 9 см и образует с гипотенузой угол 60°.