Урок 21

Тема. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости

Цель урока: формирование знаний о параллельное проектирование. Изучение свойств параллельного проектирования. Дать представление об изображении пространственных фигур на плоскости.

Оборудование: стереометрический набор.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при решении домашней задачи.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1) Точка О лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и b, которые проходят через точку А, пересекают плоскость а в точках A1 и B1, а плоскость β - в точках А2 и B2 соответственно. Найдите OB1, если А10 : А1А2 = 1 : 3, B1B2 = 15 см. (6 баллов)

2) В кубе ABCDA1B1C1D1 постройте сечение плоскостью, проходящей через точки А, В, К, где точка К - середина ребра СС1. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. (6 баллов)

Вариант 2

1) Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1 и А2, С2 соответственно. Найдите ВС1, если А1В : А1А2 = 1:3, ВС2 = 12 см. (6 баллов)

2) Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, В, С1. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. (6 баллов)

Вариант 3

1) На параллельных плоскостях α и β выбраны по паре точек А1, А2 и В1, В2 соответственно так, что прямые A1B1 и А2В2 пересекаются в точке О, которая лежит между плоскостями. Найдите ОА1, если А1В1 = 6 см, OB2 : ОА2 = 3. (6 баллов)

2) Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, М, N, где точки М и N - середины ребер ВВ1 и DD1 соответственно. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. (6 баллов)

Вариант 4

1) На параллельных плоскостях α и β выбраны по паре точек А1, А2 и В1, В2 соответственно так, что прямые А1В1 и A2B2 пересекаются в точке О, которая лежит между плоскостями. Найдите ОА1, если А1В1 = 6 см, ОВ1 : ОА2 = 3. (6 баллов)

2) Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, С, М,. где точка М - середина ребра А1В1. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. (6 баллов)

Ответ. Вариант 1. 1) 5 см; 2) см. Вариант 2. 1) 3 см; 2) см.

Вариант 3. 1) 1,5 см; 2) 4см. Вариант 4. 1) 3 см; 2) 3 + 2 см.

II. Восприятие и осознание нового материала

Параллельное проектирование и его свойства

Для изображения пространственных фигур в стереометрии пользуются параллельным проектированием. Вспомним, что это такое.

Пусть дано произвольную плоскость α, точка А (рис. 83) и прямую h, которое пересекает плоскость α. Проведем через точку А прямую, которая параллельна h, она пересекает плоскость α в некоторой точке А1. Найденную таким образом точку А; называют параллельной проекцией точки А на плоскость α в направлении h. Прямую h называют проектуючою прямой, плоскость α - плоскостью проекций.

Чтобы построить проекцию какой-либо фигуры, надо спроектировать на плоскость проекции каждую точку данной фигуры (рис. 84). Приведем некоторые свойства параллельного проектирования.

Теорема.

Если отрезки, которые проектируются, не параллельны проектирующей прямой, то при параллельном проектировании:

1) отрезки изображаются отрезками;

2) параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками или отрезками одной прямой;

3) отношение длин параллельных отрезков и отрезков одной прямой сохраняется.

Доведение

1) Все прямые, которые проектируют точки отрезка АВ лежат в одной плоскости β, которая пересекает плоскость α по прямой А1В1 (рис. 85). Следовательно, проекцией отрезка есть отрезок, причем произвольная точка С отрезка АВ изображается точкой С1 отрезка А1В1.

2) Пусть отрезки АВ и CD, которые проектируются, параллельные. Все прямые, которые их пересекают и параллельные h, заполняют или части одной плоскости (рис. 86), или параллельных плоскостей (рис. 87).

Эти части плоскостей пересекают плоскость а соответственно или по отрезкам одной прямой, или по параллельным отрезкам А1В1 и С1D1.

3) Если отрезки АВ и СВ, которые проектируют, размещены на одной прямой (см. рис. 85), то по теореме о пропорциональных отрезках имеем: А1С1 : С1B1 = АС : СВ.

Если отрезки АВ и CD параллельны, а их проекции А1B1 и C1D1 лежат на одной прямой (см, рис. 86), то АВВ2A2 - параллелограмм. В этом случае A1B1 : C1D1 = A2B2 : CD = AB : CD. Наконец, если проекции А1В1 и С1D1 данных отрезков АВ и CD не лежат на одной прямой (см. рис. 87), то построим параллелограмм CDKB. Его проекция - параллелограмм СDKВ. Итак, имеем: А1В1 : C1D1 = А1В1 : В1К1 = АВ : ВК = АВ : CD.

Доказательства третьего утверждения теоремы можно опустить, ограничившись пояснениями, которые сделаны в учебнике.

Выполнение упражнений

1. При каком положении отрезка относительно плоскостей проекции его проекция: а) равна самому отрезку; б) есть точка?

2. Отрезок проецируется параллельно на плоскость. Как проектируется середина отрезка на эту плоскость?

3. Может ли проекция отрезка быть больше отрезка, который проектируют?

4. Могут непараллельные прямые проектироваться в параллельные прямые? Приведите примеры.

5. Как расположены точки А и В относительно плоскости CDD1C1 (рис. 88)?

6. Плоскость фигуры не параллельна направлению проектирования. В какую фигуру проектируется: а) треугольник; б) параллелограмм?

Изображение пространственных фигур на плоскости

Рассмотрены свойства параллельного проектирования позволяют наглядно изображать пространственные фигуры на плоскости.

Изображением фигуры называется любая фигура, подобная параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость.

Решение задачи № 37 из учебника (с. 22).

III. Домашнее задание

§2, п. 13; контрольный вопрос № 12; задача № 38 (с. 22).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Как выполняется параллельное проектирование?

2) Что называется параллельной проекцией точки; фигуры?

3) Что является параллельной проекцией прямой; двух параллельных прямых?

4) сохраняется при параллельном проектировании длина отрезков; величина углов?

5) В каком случае отношение длин проекций отрезков равно отношению длин отрезков, которые проектируют?

6) Отрезок А1B1 - параллельная проекция отрезка АВ на плоскость α (рис. 89). Точка С лежит на отрезке АВ. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) проекция точки С на плоскость α не принадлежит отрезку А1B1;

б) отрезки АВ и А1В1 не лежат в одной плоскости;

в) если AC : B: C = 2 : 3, то А1C1 : С1В1 = 2 : 3;

г) если АС = СВ, то А1С1 = 2С1В1;

д) если АС = 3 см, АВ =12 см, то А1С1 : А1В1 =1: 4.