Урок № 21

Тема. Рациональные уравнения. Решение рациональных уравнений

Цель: добиться усвоения учащимися содержания схем решения дробно-рациональных уравнений с использованием основного свойства пропорции и свойства равносильных уравнений; закрепить знания учащихся об изученных на предыдущем уроке понятий (рациональное уравнение, целое уравнения, дробно-рациональное уравнение, ОДЗ уравнения и схемы решения дробного уравнения вида = 0, где А и В - некоторые многочлены от одной переменной); сформировать умение применять изученные схемы для решения уравнений соответствующего вида, усовершенствовать умения выполнять изученные на предыдущих уроках преобразования рациональных выражений.

Тип урока: дополнение знаний, совершенствование умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Сложение и вычитание рациональных дробей».

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Одним из способов проверки уровня усвоения учащимися знаний и умений, предложенных для изучения на предыдущем уроке, является математический диктант.

Математический диктант

1. Закончите предложения:

Уравнение называют рациональным, если....

2. Закончите предложения:

Уравнения называют целым рациональным уравнением, если...

3. Составьте и запишите два дробно-рациональных уравнений разного вида

4. Решите уравнение .

Если во время решения упражнений домашнего задания учащиеся имели значительные трудности, тогда целесообразно провести проверку домашнего задания по образцу.

III. Формулировка цели и задач урока

С целью осознания учащимися необходимости изучения материала, предложенного на текущий урок, учитель может провести работу, которая предусматривает решение учащимися задач на выполнение таких умственных действий, как сравнение (нахождение общего и отличного), а также обобщение и формулирование гипотезы.

Выполнение устных упражнений

1. Рассмотрите уравнение:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

и сравните их по разным критериям (виду самого уравнения, видом выражений, из которых состоят правая и левая части уравнений, и т.д.). Что в них общего, отличного? Каким способом решаются первые два уравнения? Можно третье и четвертое уравнения решить таким способом? Дополнительно следует учесть, решая последние два уравнения?

2. Рассмотрите уравнение:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

и сравните их по разным критериям (виду самого уравнения, видом выражений, из которых состоят правая и левая части уравнений, и т.д.). Что в них общего, отличного? Каким способом решаются первые два уравнения? Можно третье и четвертое уравнения решить таким способом? Дополнительно следует учесть, решая последние два уравнения?

После проведенной работы учащиеся должны сформулировать вопрос (проблему) можно дробно-рациональные уравнения, имеющие вид пропорции или равенства рациональных выражений, решать подобными способами - к способам решения целых рациональных уравнений соответствующего вида? Дополнительные действия при этом обязательно следует выполнить? Поиск ответа на поставленный вопрос и составляет основную дидактическую цель урока, к которой добавляются задачи: сформулировать алгоритмы решения дробно-рациональных уравнений с использованием основного свойства пропорции и свойства равносильных уравнений (если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному), а также, закрепив знания последовательности действий, предусмотренных этими алгоритмами, сформировать умение применять эти алгоритмы на практике (для решения соответствующего вида уравнений).

IV. Актуализация опорных знаний и умений

@ С целью успешного восприятия учащимися учебного материала перед изучением материала урока следует активизировать знания и умения учащихся: тождественные преобразования целых выражений; преобразование суммы, разности, произведения и частного двух рациональных дробей на рациональный дробь; нахождение общего знаменателя для данных нескольких рациональных дробей; применение основного свойства пропорции и свойства равносильных уравнений.

Выполнение устных упражнений

1. Выполните действия:

; ; ; ; ; ; ; .

2. Найдите общий знаменатель для дробей:

и ; и ; и ; и .

3. Решите уравнения: ; ; ; .

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения, имеет вид пропорции (с примером).

2. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения, имеет вид равенства двух рациональных выражений (с примером).

@ Решения учащимися задач на этапе формулировки цели и задач урока подготовило учащихся к сознательному восприятию ими содержания учебного материала урока: схемы решения дробно-рациональных уравнений с использованием основного свойства пропорции и с использованием свойства равносильных уравнений.

Перед изучением первого вопроса плана следует рассмотреть вопрос о ОДЗ дробного уравнения вида : учащиеся должны осознать, что в этом случае ОДЗ находим из условия В ≠ 0, D ≠ 0. Тогда алгоритм решения уравнений типа можно записать в виде следующей схемы действий:

1. Найти ОДЗ уравнения (см. предыдущий урок).

2. Использовать основное свойство пропорции: перейти к уравнению AD = BC, решить это уравнение.

3. Проверить, какие из найденных корней удовлетворяют ОДЗ; те, что не удовлетворяют ОДЗ, являются посторонними корнями; записать ответ.

После составления схемы действий необходимо проиллюстрировать ее применение при решении соответствующего примера.

Во время изучения вопроса о способе перехода от дробного уравнения, имеет вид равенства двух рациональных выражений, до целого уравнения, можно предложить ученикам преобразования, основанный на применении свойства равносильных уравнений - в результате умножения обеих частей уравнения на выражение, не равное нулю, получается уравнение, равносильное данному (такой способ решения целых уравнений подобного вида учащиеся изучили в 7 классе). Так же, как и за преобразование целых уравнений, таким множителем является общий знаменатель всех дробей, но общий знаменатель в случае дробного уравнения является выражением с переменными. Поэтому ОДЗ такого дробного уравнения находим из условия: общий знаменатель всех дробей не равна нулю.

После этого формулируется общая схема действий решения дробных уравнений:

· найти общий знаменатель всех рациональных дробей; найти ОДЗ уравнения (см. выше);

· умножить обе части уравнения на общий знаменатель; решить образовано целое уравнение;

· выполнить проверку найденных корней целого уравнения на соответствие их к ОДЗ (см. п. 1), отсеять возможные посторонние корни, записать ответ.

Подводя итоги изученного материала, следует заметить, что изученные схемы решения дробных уравнений отличаются лишь способом перехода к целого уравнения, среди корней которого могут содержаться корни данного дробного уравнения; общие положения решения дробных уравнений являются неизменными: перейдя к целому уравнения (которое является следствием данного уравнения) и решив это целое уравнение, обязательно учитываем ОДЗ данного дробного уравнения или проверяем, не превращают корни целого уравнения знаменатель данного уравнения на ноль.

Следует заметить, что желательно овладеть всеми тремя видами преобразований, ибо существуют виды уравнений, решение одних из которых проще сделать одним способом, чем другим (уместно было бы это проиллюстрировать на примерах).

VI. Усвоение умений

Выполнение устных упражнений

1. При каких значениях переменной а не имеют смысла выражения: ; ; ?

2. Или равносильны уравнения:

а) и 3х = 2(х - 1); б) и х(х + 3) = (х - 1)(х + 1)?

Почему?

3. При каком значении х значение дроби уровне:

и ; и ; и ; и ?

Выполнение письменных упражнений

Чтобы реализовать дидактическую цель, на этом уроке следует решить задачи следующего содержания:

1. Решение дробно-рациональных уравнений по алгоритмам (сложенными на уроках 20, 21).

1) Решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. Составление и решение (наиболее рациональным способом) дробно-рациональных уравнений по условию задачи.

1) Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из города А в город В выехал автомобиль и одновременно с ним вылетел самолет. Автомобиль прибыл в город В на 10 час позже от самолета. Найдите скорость самолета и автомобиля, если скорость самолета в 6 раз больше скорости автомобиля.

2) К бассейну подведены две трубы. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой в два раза быстрее, чем через вторую. Если открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится за 4 ч. За какое время можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?

3. На повторение: преобразуйте рациональное выражение с использованием
приобретенных ранее знаний.

1) Упростите выражение: а) ; б) ; в) .

2) Докажите тождество: а) ; б) .

4. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) выражение пропущено?

5.* Решение дробно-рационального уравнения с параметром.

1) Решите уравнение с параметром а: .

2) При каких значениях а уравнение не имеет корней?

3) При каких значениях а уравнение имеет один корень?

@ Устные упражнения способствуют закреплению учащимися схемы действий во время выполнения преобразований согласно определенного алгоритма и а формированию первичных умений выполнять действия согласно изученных алгоритмов.

При решении письменных упражнений на уроке следует требовать от учащихся соблюдения правил: перед развязыванием дробного уравнения определить вид уравнения, а затем выбрать соответствующий способ равносильных преобразований уравнений; выбрав определенный алгоритм преобразований дробного уравнения, следует четко следовать только этому алгоритму, не «перескакивать» на другой; уравнение считается решенным только если выполнена вся последовательность действий, предусмотренная алгоритмом.

VII. Итоги урока

В любом из случаев правильно решенное уравнение?

VIII. Домашнее задание

1. Изучить алгоритмы решения дробно-рациональных уравнений разного вида; составить общий алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.

2. Решить дробно-рациональные уравнения и упражнения, предполагающие составление и решение дробно-рациональных уравнений.

3. Повторить изученные схемы действий во время преобразования рациональных выражений; решить упражнения на применение этих схем и изученных ранее способов преобразования отдельного вида рациональных выражений.