УРОК 20

Тема. Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнения cos t = a

Цель урока: усвоение учащимися вывода и применения формул для нахождения корней уравнения cos t = a.

Оборудование: Таблица «Уравнения cos t = a».

И. Проверка домашнего задания

Математический диктант

Вычислите:

1) arcsin ; 2) arcos ; 3) arctg ; 4) arcsin; 5) arccos; 6) arctg (-1);

7) arcctg (-1); 8) cos (arсcos 1); 9) sin ; 10) arcsin ; 11) arccos ; 12) arccos .

Ответы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) -; 5) ; 6) -; 7) ; 8) 1; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .

II. Мотивация обучения и сообщение темы урока

Всем известно, что квадратные уравнения можно решать с помощью формулы их корней, что значительно упрощает работу.

В математике рассматривают уравнения, в которых неизвестное (сменная) входит только под знак тригонометрических функций, например: cos t = 1, cos t + sin t = 0. Эти уравнения называются тригонометрическими уравнениями. Как правило, решения любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейших уравнений: sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a.

Итак, наша задача - вывести формулы для решения простейших тригонометрических уравнений и научиться решать тригонометрические уравнения, приводимые к простейшим.

На сегодняшнем уроке рассмотрим решение уравнения cos t = a.

III. Восприятия и осознания материала о решения уравнения cos t = а

Демонстрируется таблица 8.

Таблица 8

Объяснение учителя

1. Если |а| > 1, то уравнение cos t = а не имеет решений, во-сколько |cos t| 1 для любого t.

2. Если |а| 1, то учитывая, что cos t - абсцисса точки Рt единичного круга, имеем: абсцису, равную а, имеют две точки (рис. 122) единичного круга(на оси ОХ отложим число а и через построенную точку проведем прямую, перпендикулярную оси абсцисс, которая пересечет окружность в двух точках и . Тогда

t1 = arccos a + 2πn, nZ,

t2 = - arccos a + 2πn, nZ.

t = ± arccos a + 2πn, nZ (1)

3. Если а = 1, то, учитывая, что cos t - это абсцисса точки Рt единичного круга, имеем: абсцису, равное 1, имеет точка Рt образована из точки Р0(1; 0) поворотом на углы 2πn, nZ. Следовательно, t = 0 + 2πn = 2πn, nZ.

4. Если а = -1, то имеем t = n + 2πn, nZ. Корни уравнений: cos t = 1, cos t = -1, cos t = 0 можно получить из формулы t = ± arccos a + 2πn, nZ. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите уравнение cos x = .

Решение

Согласно формуле (1) имеем:

х = ± arccos + 2πn, nZ.

Поскольку arccos = , то имеем: х = ± + 2πn, nєZ.

Ответ: ± + 2πn, nZ.

Пример 2. Решите уравнение cos x = .

Решение

Поскольку > 1, то уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решите уравнение cos x = 0,37.

Решение

Согласно формуле (1) имеем:

х = arccos 0,37 + 2πn, nZ.

Значение arccos 0,37 найдем с помощью микрокалькулятора: arccos 0,37 1,19, тогда х ± 1,19 + 2πn, nZ.

Ответ: arccos 0,37 + 2πn ± 1,19 + 2πn, nZ.

Пример 4. Решите уравнение cos x = -.

Решение

Согласно формуле (1) имеем: х = ±arccos + 2πn, nZ.

Поскольку arccos = n - arccos = n - = , то x = ± + 2πn, nZ.

Ответ: ± + 2πn, nZ.

IV. Осмысление изученного материала

Выполнение упражнений______________________________

Решите уравнение.

1. a) -2cos х = 1; б) cos 2х - 1 = 0; в) 2cos = ; г) - 2cos = 0.

Ответ: а)±+2πn, nZ; б) πn, nZ; в) ±+πn, nZ; г) ± +, nZ.

2. a) cos x cos 3x = sin 3x sиn x;

б) cos 2x cos x + sin 2x sin х = 1;

в) cos2 x - sin2 х = 0,5;

г) 2sin2x = 1.

Ответ: а) +, nZ; б) 2πn, nZ; в) ±+πn, nZ; г) +, nZ.

3. а) 6соз2х + cos x - 1 = 0;

б) cos x + 3cos х = 0;

в) 4cos2x - 3 = 0;

г) cos2x = 1 + sin2x.

Ответ: а) ± + 2πn; ± arccos + 2πn, nZ; б) + πn, nZ; в) ±+ 2πn и ± + 2πn, nZ; г) , nZ.

4. а) (1 + cos x)(3 - 2cos x) = 0;

Ответ: а) n + 2πn, nZ.

V. Итог урока

VI. Домашнее задание

Раздел II § 2 (2). Вопросы и задания для повторения раздела II № 13-15. Упражнения№ 1 (9; 10; 13), № 2 (2; 4; 7).