УРОК № 20

Тема. Длина окружности и дуги окружности

Цель урока: вывод формул для нахождения длины окружности и длины дуги окружности. Формирование умений учащихся применять выведенные формулы к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Длина окружности и площадь круга» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: записывают и объясняют формулы длины окружности и дуги окружности. Формулируют теорему об отношении длины окружности к его диаметру. Применяют изученные формулы к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания, актуализация опорных знаний учащихся

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при выполнении домашних заданий.

Задача 1. Решение

Пусть BD = 4 см (рис. 88), тогда ОВ = = = 2 см, АВ = ОВ= 2 (см).

Ответ. 2 см.

Задача 2. Доведение

Пусть ABCD - квадрат, AMDNCKBL - правильный восьмиугольник (рис. 89), точка О - центр этих многоугольников, OA = R. Из прямоугольного треугольника AMF имеем AM = . Учитывая, что OA = R, AD = AO ∙= R.

FM = OM - OF = R - = R - , имеем: AM = = = = .

Фронтальная беседа

1. 1) В окружность вписан правильный треугольник, и вокруг этого самого круга описан правильный треугольник (рис. 90). Сторона описанного треугольника равен а, а сторона вписанного - b. Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) a = 3b.

б) Точки пересечения медиан обоих треугольников совпадают.

в) Радиус окружности равен .

г) Радиус круга равен .

1. 2) Вокруг квадрата описана окружность радиуса R, и в этот самый квадрат вписан круг радиуса r (рис. 91). Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) R = r.

б) Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

в) Сторона квадрата равна R.

г) Сторона квадрата равна

Самостоятельная работа

Самостоятельную работу можно провести за пособием [14], тест 6 «Правильные многоугольники».

II. Первичное восприятие и осознание нового материала

Длина круга

Чтобы наглядно представить, что такое длина окружности, представим, что круг сделан из тонкой проволоки. Если такое круг разрезать в некоторой точке А и распрямить круг, то получим отрезок AA1, длина которого и является длиной окружности (рис. 92).

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближение, поскольку многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к кругу.

Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для каждого круга.

Доведение

Пусть имеем два произвольных круга (рис. 93), радиусы которых равны R1 и R2, а длины окружностей - С1 и С2. В каждое из этих кругов впишем правильные n-угольники с одинаковым числом сторон, длины которых равны аn и а'n, тогда их периметры Гn и Р'n соответственно равны:

Pn = nan = n ∙ 2R1sin, Г'n = na'n = n ∙ 2R2sin.

Тогда .

Если значение n неограниченно увеличивать, то периметры Гn и Р'n направляться в длин окружностей С1 и С2, а отношение периметров - отношения . Следовательно, , или , что и требовалось доказать.

Отношение длины круга к его диаметру 2R принято обозначать греческой буквой n. Число n - иррациональное число, его приближенное значение n 3,1415926.

Следовательно, , откуда C = 2nR.

C = 2nR - формула длины окружности.

Выполнение упражнений

1. 1. Найдите длину окружности радиуса 5 см.
2. 2. Найдите длину диаметра круга 5 см.
3. 3. Найдите радиус окружности, длина которого равна 16n см.
4. 4. Найдите диаметр окружности, длина которого равна 5n см.

Нахождения длины дуги окружности

Найдем длину дуги окружности, соответствующей центральному углу п°. Поскольку развернутом углу соответствует длина полукруга πR (рис. 94), то углу 1° соответствует дуга длиной , а углу п° - дуга длиной .

Выполнение упражнений

1. 1. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, которая соответствует центральному углу, что составляет:

а) 30°; б) 270°.

Решение

а) (см);

б) (см);

Ответ. 0,52 см; 4,71 см.

1. 2. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет:

а) ; б) ; в) круга?

Решение

∙ 360° = 120°; ∙ 360° = 72°; ∙ 360° = 240°.

Ответ. 120°, 72°, 240°.

1. 3. По данным радиусом R = 1 м найдите длину дуги, соответствующей центральному углу, что составляет:

а) 45°; б) 120°; в) 60°30'; г) 150°36'.

Решение

а) (м);

б) (м);

в) (г);

г) (г).

Ответ. 0,79 м; 2,09 м; 1,05 м; 2,63 м.

III. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

1. 1. Длина круга, описанного вокруг квадрата, равна 6π см. Найдите сторону этого квадрата. (Ответ. 3см.)
2. 2. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите длину окружности, являются:

а) вписанным в треугольник;

б) описанным вокруг этого треугольника.

(Ответ а) ; б) .)

1. 3. Найдите радиус круга, дуга которого имеет длину 15,7 см и соответствует центральному углу, что составляет 24°. (Ответ. 37,5 см.)
2. 4. Длины оснований и боковой стороны рівнобічної трапеции соответственно равны 9 см, 25 см и 17 см. Найдите длину окружности, вписанной в трапецию. (Ответ. 15π см.)
3. 5. Длина отрезка АВ равна а. На нем обозначены точки С1, С2, ..., Сn и построено полукруга (рис. 95), которые имеют диаметры АС1, С1С2, ..., СnВ. Найдите длину построенной кривой с концами в точках А и В. (Ответ. .)

1. 6. Найдите отношение периметра правильного восьмиугольника до диаметра и сравните его с приближенным значением n.

Решение

Пусть АВ - сторона восьмиугольника (рис. 96), тогда по теореме косинусов из треугольника АОВ имеем: АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 2 ∙ ОА ∙ OB ∙ cos AOB, где OA = OB = R, АОВ = 360° : 8 = 45°. Тогда AB2 = R2 + R2 - 2 ∙ R2 ∙ = 2R2 - R2, AB = .

Периметр восьмиугольника P8 = 8AB = 8, диаметр круга 2R.

Следовательно, P8 : 2R = 8 : 2R = 4 3,06, а n 3,14.

Ответ. 3,06 3,14.

1. 7. Шкив диаметра 1,4 м осуществляет 80 оборотов за минуту. Найдите скорость точки на ободе шкива.

Решение

Длина шкива: C = 2nR = n ∙ 1,4 = 4,396 (м). Путь, пройденный точкой за минуту: S = C ∙ 80 = 4,396 ∙ 80 = 351,68 (м).

Скорость точки на ободе шкива:

V = = = 351,68 .

Ответ. 351,68 .

1. 8. Расстояние между любыми двумя точками на поверхности Земли равна 1 км? Радиус Земли равен 6370 км. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные до двух данных точек?

Решение

Пусть ОА = ОВ = 6370 км, lAB = 1 км (рис. 97). Поскольку , то имеем ; 180 = 6370n, отсюда n = 0,009.

Следовательно, искомый угол равен n° = 0,009° = 0,009 ∙ 60' = 0,54' = 0,54 ∙ 60" 32".

Ответ. 32".

1. 9. По данной хордой а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна 120°.

Решение

Пусть АВ = а, AOB = 120° (рис. 98), OA = OB = R. По теореме косинусов имеем:

АВ2 = АО2 + ВO2 - 2 ∙ АО ∙ H ∙ cos AOB;

a2 = 2R2 - 2R2 cos120°; a2 = 2R2 + R2; a2 = 3R2; R2 = ; R = .

Тогда .

Ответ. .

1. 10. За длиной дуги l найдите хорду, если дуга составляет 120°.

Решение

Поскольку , то . По теореме косинусов (рис. 98): АВ2 = АО2 + ВО2 - 2 ∙ АО ∙ H ∙ cos AOB = R2 + R2 + R2 = 3R2 = 3. Отсюда АВ = .

Ответ. .

IV. Самостоятельная работа

Самостоятельную работу обучающего характера можно провести за пособием [14], тест 7 «Длина окружности. Длина дуги окружности».

V. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулы длины окружности и длины дуги окружности.
2. 2. Решить задачи.
3. 1) Вычислите длину окружности, если радиус равен: а) 10 м; б) 15 м.
4. 2) Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, которая соответствует центральному углу, что составляет:

а) 45°; б) 120°.

1. 3) Найдите градусную меру центрального угла, если соответствующая ему дуга составляет:

а) ; б) ; в) .

1. 4) По данному кругом радиуса R = 1 м. найдите длину дуги, соответствующей центральному углу, что составляет:

а) 30°; б) 45°45'.

VI. Подведение итогов урока

Задача класса

1. 1. Чему равно отношение длины окружности к диаметру?
2. 2. Запишите формулы для нахождения:

а) длины окружности;

б) длины дуги окружности, соответствующей углу в n°.