УРОК 19

Тема. Обратные тригонометрические функции: у = arctg x, y = arcctg x

 

Цель урока: изучение свойств обратных тригонометрических функций: у = arctg х и у = arcctg x.

И. Проверка домашнего задания

1. Фронтальная беседа с классом по вопросам 6, 7, 9-12, к «Вопросы и задания для повторения» раздела II.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вычислите:

а) arcsin 1 - 2arccos . (2 балла)

б) 2 arccos 0,5 - 3 arcsin . (2 балла)

в) sin (2 балла)

г) sin . (3 балла)

д) cos (π - arcsin (-1)). (Баллы)

Вариант 2

а) 2 arccos + arcsin . (2 балла)

б) arcsin(-l) - arccos . (2 балла)

в) cos . (2 балла)

г) cos . (3 балла)

д) sin. (3 балла).

Ответы: В-1: а) -π; б) ; в) -0,5; г); д) 0. В-2. а) ; б) -1,25; в); г); д) 1.

 

II. Сообщение темы урока

 

III. Восприятие и осознание понятия arctg a и свойств функции у = arctg х

Функция у = tg x на промежутке возрастает и принимает все значения из R, поэтому для любого а уравнение tg х = а имеет единственный корень из промежутка , который называется арктангенсом числа а и обозначается arctg а.

Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка , тангенс которого равен а.

Пример 1. arctg = , потому tg = и .

Пример 2. arctg(-1) = - , потому что tg = -1 и -.

Выполнение упражнений

1. Вычислите:

а) arctg ; б) arctg 0; в) arctg 1; г) arctg ; д) arctg (-).

Ответ: а) ; б) 0; в) ; г) - ; д) - .

2. Какие из представленных выражений имеют смысл:

а) arctg π; б) arctg ; в) arctg π2?

Ответ: а); б); в).

График функции у = arctg х: получим из графика функции у = tg х, хпреобразованием симметрии относительно прямой у = х (рис. 120).

 

Рассмотрим свойства функции у = arctg х:

1. D(y)=R.

2. Е(в) = .

3. График симметричен относительно начала координат, то функция нечетная: arctg (-х) = - arctg х.

4. Функция возрастающая. Если х1 х2 то arctg х1 arctg х2

5. у = 0, если х = 0.

6. у > 0, если х > 0; у 0, если х 0.

 

Выполнение упражнений

1. Сравните числа:

a) arctg (-3) и arctg 2; б) arctg (-5) и arctg 0; в) arctg и arctg .

Ответ: 4) arctg (-3) arctg 2; б) arctg (-5) arctg 0; в) arcrg > arctg .

2. Расположите в порядке возрастания числа:

а) arctg 50; arctg (-5); arctg 0,5; б) arctg 1,2; arctg π; arctg (-3).

Ответ: а) arctg (-5); arctg 0,5; arctg 50; б) arctg (-3); arctg 1,2; arctg π.

3. Решите уравнение:

a) arctg(5х - 1) = ; б) arctg(3 - 5х) = - .

Ответ: а) х = ; б) х = .

 

V. Восприятие и осознание понятия arcctg a и свойств функции у = arcctg х

Функция у = ctg х на интервале (0; π) убывает и принимает все значения из R, поэтому для любого числа а в интервале (0; π) существует единственный корень уравнения ctg х = а. Это число называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg a.

Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; π), котангенс которого равен а.

Пример 1. arcctg = , так как ctg = и (0; π).

Пример 2. arcctg = , так как ctg = - и (0; π).

Выполнение упражнений

1. Вычислите: a) arcctg 1; б) arcctg ; в) arcctg 0; г) arcctg (-1); д) arcctg .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

График функции у = arcctg x можно получить из графика функции у = ctg x в результате преобразования симметрии относительно прямой у = х (рис. 121).

 

 

 

Укажем свойства функции у = arcctg х:

1. D(y)=R.

2. E(y) = (0; π).

3. График не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси OY. arcctg (-x) = π - arcctg х.

4. Функция убывающая. Если х1 х2 то arcctg х1 > arcctg х2.

5. х = 0, если у = .

6. у > 0 для всех хR.

Значения обратных тригонометрических функций можно вычислять с помощью таблиц или микрокалькулятора.

 

VI. Подведение итогов урока

 

VII. Домашнее задание

Раздел II § 1 (4, 5). Вопросы и задания для повторения раздела II № 6-11, 12 (3, 4, 9, 10).