УРОК 19
Тема. Обратные тригонометрические функции: у = arctg x, y = arcctg x
Цель урока: изучение свойств обратных тригонометрических функций: у = arctg х и у = arcctg x.
И. Проверка домашнего задания
1. Фронтальная беседа с классом по вопросам 6, 7, 9-12, к «Вопросы и задания для повторения» раздела II.
2. Самостоятельная работа.
Вариант 1
Вычислите:
а) arcsin 1 - 2arccos
. (2 балла)
б) 2 arccos 0,5 - 3 arcsin
. (2 балла)
в) sin
(2 балла)
г) sin
. (3 балла)
д) cos (π - arcsin (-1)). (Баллы)
Вариант 2
а) 2 arccos
+ arcsin
. (2 балла)
б)
arcsin(-l) -
arccos
. (2 балла)
в) cos
. (2 балла)
г) cos
. (3 балла)
д) sin
. (3 балла).
Ответы: В-1: а) -π; б)
; в) -0,5; г)
; д) 0. В-2. а)
; б) -1,25; в)
; г)
; д) 1.
II. Сообщение темы урока
III. Восприятие и осознание понятия arctg a и свойств функции у = arctg х
Функция у = tg x на промежутке
возрастает и принимает все значения из R, поэтому для любого а уравнение tg х = а имеет единственный корень из промежутка
, который называется арктангенсом числа а и обозначается arctg а.
Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка
, тангенс которого равен а.
Пример 1. arctg
=
, потому tg
=
и 

.
Пример 2. arctg(-1) = -
, потому что tg
= -1 и -

.
Выполнение упражнений
1. Вычислите:
а) arctg
; б) arctg 0; в) arctg 1; г) arctg
; д) arctg (-
).
Ответ: а)
; б) 0; в)
; г) -
; д) -
.
2. Какие из представленных выражений имеют смысл:
а) arctg π; б) arctg
; в) arctg π2?
Ответ: а); б); в).
График функции у = arctg х: получим из графика функции у = tg х, х
преобразованием симметрии относительно прямой у = х (рис. 120).

Рассмотрим свойства функции у = arctg х:
1. D(y)=R.
2. Е(в) =
.
3. График симметричен относительно начала координат, то функция нечетная: arctg (-х) = - arctg х.
4. Функция возрастающая. Если х1 х2 то arctg х1 arctg х2
5. у = 0, если х = 0.
6. у > 0, если х > 0; у 0, если х 0.
Выполнение упражнений
1. Сравните числа:
a) arctg (-3) и arctg 2; б) arctg (-5) и arctg 0; в) arctg
и arctg
.
Ответ: 4) arctg (-3) arctg 2; б) arctg (-5) arctg 0; в) arcrg
> arctg
.
2. Расположите в порядке возрастания числа:
а) arctg 50; arctg (-5); arctg 0,5; б) arctg 1,2; arctg π; arctg (-3).
Ответ: а) arctg (-5); arctg 0,5; arctg 50; б) arctg (-3); arctg 1,2; arctg π.
3. Решите уравнение:
a) arctg(5х - 1) =
; б) arctg(3 - 5х) = -
.
Ответ: а) х =
; б) х =
.
V. Восприятие и осознание понятия arcctg a и свойств функции у = arcctg х
Функция у = ctg х на интервале (0; π) убывает и принимает все значения из R, поэтому для любого числа а в интервале (0; π) существует единственный корень уравнения ctg х = а. Это число называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg a.
Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; π), котангенс которого равен а.
Пример 1. arcctg
=
, так как ctg
=
и
(0; π).
Пример 2. arcctg
=
, так как ctg
= -
и
(0; π).
Выполнение упражнений
1. Вычислите: a) arcctg 1; б) arcctg
; в) arcctg 0; г) arcctg (-1); д) arcctg
.
Ответ: а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
График функции у = arcctg x можно получить из графика функции у = ctg x в результате преобразования симметрии относительно прямой у = х (рис. 121).

Укажем свойства функции у = arcctg х:
1. D(y)=R.
2. E(y) = (0; π).
3. График не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси OY. arcctg (-x) = π - arcctg х.
4. Функция убывающая. Если х1 х2 то arcctg х1 > arcctg х2.
5. х = 0, если у =
.
6. у > 0 для всех х
R.
Значения обратных тригонометрических функций можно вычислять с помощью таблиц или микрокалькулятора.
VI. Подведение итогов урока
VII. Домашнее задание
Раздел II § 1 (4, 5). Вопросы и задания для повторения раздела II № 6-11, 12 (3, 4, 9, 10).