УРОК № 2

Тема. Числовые неравенства. Доказательство числовых неравенств

Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания: дополнительных неравенств для суммы взаимно обратных положительных чисел и среднего арифметического двух неотрицательных чисел (в сравнении с их средним геометрическим) и доведение этих неравенств; способа применения доказанных неравенств при доказательстве других числовых неравенств. Продолжить работу по выработке умений: воспроизводить содержание изученных понятий и алгоритмов и применять их для решения упражнений на сравнение числовых и буквенных выражений, а также упражнений на доказательство неравенств в простейших случаях и случаях, предусматривающих применение определения и преобразования разности левой и правой частей неравенства, которое надо доказать с использованием выделения квадрата двучлена.

Тип урока: закрепления знаний, выработки умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 2.

Ход урока

И. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Выполнение упражнений домашней работы тщательно проверяется у учащихся, требующих дополнительного педагогического внимания (учитель собирает их тетради на проверку).

Фронтальную проверку качества выполнения упражнений домашней работы можно провести в форме игры «Найди ошибку».

III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

Созданию соответствующей мотивации на уроке может посодействовать выполнения учащимися такого задания.

Задача

Сравните два выражения, если известно, что а > 0, b > 0, а разность первого и второго выражений равен: 1) ; 2) .

После обсуждения результатов, полученных в ходе выполнения предложенного выше задачи, совместными усилиями приходим к выводу: сравнение выражений путем определения знака разности двух выражений и применения определение сравнения чисел можно проводить, даже когда разница является буквенным выражением, содержащим квадрат двучлена. Изучение этого вопроса и является основной дидактической целью урока. Задание на урок логически вытекающие из этой цели: сформулировать общее правило, а также научиться применять это правило для решения задач на доказательство неравенств.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Сравните числа а и b, если:

1) а - b = -5;

2) а - b = 4,5;

3) а - b = -19,8;

4) b - а = -0,1;

5) а - b = 0.

2. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) х2 - 2х + 1;

2) m2 + 10m + 25;

3) х2 - 6m + 9;

4) m2 - mn + n2 - mn;

5) х - 2 + в (х > 0; в > 0).

3. Сравните с нулем значение выражения:

1) m2;

2) m2 + 1;

3) (m + 1)2;

4) m2 + 2mn + n2 + 1.

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Доведение неровности , а > 0, b > 0.

2. Доведение неровности , а ≥ 0, b ≥ 0.

3. Примеры применения доказанных неравенств.

Опорный конспект № 2

Методический комментарий

Доказательства неравенств путем применения неравенств для среднего арифметического двух неотрицательных чисел и через сравнение с нулем выражения, равна разности левой и правой частей неравенства, с предварительным выделением квадрата двучлена из образованного выражения является одним из вопросов, которые предусмотрены программой по математике и имеют довольно широкое практическое применение. Именно поэтому уже на данном, втором, уроке, посвященном изучению способов доведения неровностей, рассматриваются вопросы:

· о доказательстве неравенств в случае, когда разность левой и правой частей неравенства является выражением, содержащим буквы;

· о применении для доказательства неравенств соотношений между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел и суммой двух взаимно обратных положительных чисел.

Для успешного восприятия материала урока на этапе актуализации опорных знаний и умений учащихся рекомендуется выполнить устные упражнения на сравнение с нулем буквенного выражения и на повторение формул сокращенного умножения, в частности квадрата двучлена (см. выше). После решения этих упражнений вполне логичным является доведение неравенства для суммы двух положительных взаимно обратных чисел и для среднего арифметического и среднего геометрического двух неотрицательных чисел (во время доведения акцентируем внимание учащихся на то, что при сравнения с нулем разности левой и правой частей неравенства выделяем квадрат двучлена). Также важно обратить внимание учащихся на то, что кроме иллюстрации общего способа доказательства неравенств (путем выделения квадрата двучлена в выражении, представленный как разность левой и правой частей данного неравенства) доказаны неравенства могут быть использованы как средство доказывания других неровностей. Для этого рассматривается пример, иллюстрирующий способ рассуждений при решении подобных примеров.

VI. Формирование умений

Устные упражнения

1. Сравните числа а и b, если:

1) а - b = m2;

2) а - b = (m + 1)2;

3) а = ; b = ; m ≥ 0.

2. Выделите полный квадрат в выражении:

1) b2 - 2bс + с2;

2) 4b2 - 4bс + с2;

3) -4b2 + 4bс - с2;

4) -4b2 + 4b - 2.

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) доказать неравенства (с использованием выделения квадрата двучлена из выражения, равную разности левой и правой частей данного неравенства);

2) доказать неравенства (с использованием доказанных опорных неравенств).

Методический комментарий

Согласно цели урока проводится работа для выработки умений доказывать неравенства с использованием обозначения (см. алгоритм, составленный на предыдущем уроке), а также умение применять доказанные неравенства для доказательства неравенств (поскольку этот материал требует от учащихся достаточного и высокого уровней знаний и умений, то обязательным он является только для учащихся соответствующего уровня учебных достижений).

VII. Итоги урока

Контрольные задания

1. Заполните пропуски:

1) m + ... > 2, m > 0; 2) , m ≥ 0, n ≥ 0.

2. Сравните выражения тел, если:

1) m - n = а2;

2) m - n = а2 + 4;

3) m - n = а2 - 2а + 1;

4) m - n = а2 - 2а + 2.

VIII. Домашнее задание

1. Изучить схему доказательства неравенств, рассматриваемых на уроке.

2. Решить упражнения: на доказательство неравенств, подобных рассмотренным на уроке.

3. Повторить свойства числовых равенств [7, табл. 4].