Основные понятия теории вероятностей
Событие - это любое явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит.
Событие происходит в результате
испытания. События обозначают большими буквами латинского алфавита
.
Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенного испытания.
Массовыми называют однородные события, наблюдаемые при определенных условиях и которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз.
Массовыми считают и те события, для которых соответствующие испытания нельзя воспроизвести, но есть возможность наблюдать аналогичные испытания в большом количестве. Множество событий образует
полную группу событий, если в результате каждого испытания хоть одно из этих событий наверняка состоится.
События называются
попарно несовместимыми в данном испытании, если никакие две из них не могут произойти вместе.
Вероятной называется событие, которое в результате испытания обязательно должно произойти, а
невозможным - событие, которое вследствие данного испытания не может состояться.
Вероятность - числовая характеристика возможности появления случайного события определенного условия, которое может быть воспроизведена неограниченное количество раз.
Вероятностью случайного события называется отношение количества событий, которые способствуют этому событию, и количества всех рівноможливих несовместных событий, образующих полную группу событий во время определенного испытания.
Обозначение:
, где
n - общее количество рівноможливих и несовместных событий, образующих полную группу,
m - число элементарных событий, которые благоприятствуют событию
A.
Суммой событийA и
B называется событие
C, которое состоит в осуществлении во время одиночного испытания или события
A, или события
B, или обоих вместе.
Обозначения:
, или
.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е
.
Последствия
1. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна 1.
2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е
.
Два события называются
противоположными, если одна, и только одна из них обязательно осуществится в данном испытании.
Произведением двух событийA и
B называется событие
С, которое заключается в осуществлении во время единичного испытания и события
Aи события
B.
Обозначения:
, или
.
Событие
А называется
независимым от
события
B, если вероятность события
А не зависит от того, произошло или нет событие
B.
Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий
A и
B равна произведению вероятностей этих событий, т.е
.
Теорема 3. Если события
,
, ... ,
- взаимно независимые, то вероятность осуществления хотя бы одного из них может быть выражена через вероятность этих событий по формуле
.
Следствие. Если
, то
.
Взаимно независимыми называются такие испытания, в которых вероятность результата каждого из них не зависит от того, какие результаты имеет или будет иметь остальные испытаний.
Формула Бернулли
Если производится
n независимых испытаний, в каждом из которых событие
A происходит с вероятностью
p, то вероятность того, что событие
A наступит
m раз, определяется по формуле
;
.