Применение производной
Пусть функция
определена на промежутке
и
.
Функция называется
возрастающей в точке
, если существует интервал
, где
, который содержится в промежутке
и является таким, что
для всех
x из интервала
и
для всех
x из интервала
.
Функция называется
убывающей в точке
, если существует интервал
, который содержится в промежутке
и является таким, что
для любого
x из интервала
и
для любого
x из интервала
.
Определение точек экстремума описано в разделе «Алгебра. 10 класс».
Если функция
возрастающая (убывающая) в каждой точке промежутка
, то она возрастающая (убывающая) на этом промежутке.
Теорема 1. Если функция
в каждой точке интервала
имеет производную
, то функция возрастает (убывает) на
.
Обратите внимание:
1) Если функция
f является непрерывной в каком-то из концов интервала
, то эту точку можно присоединить до интервала возрастания (убывания).
2) Для решения задач удобно пользоваться таким утверждением: точки, в которых производная равна 0 или не существует, делят область определения функции
f на промежутки, в каждом из которых
сохраняет неизменный знак.
Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует, называется
критической точкой функции.
Внутренняя точка области определения, в которой
, называется
стационарной точкой функции.
Теорема 2. Если функция
во внутренней точке области определения имеет экстремум, то в этой точке производная
, если она существует, равна нулю.
Теорема 3. Если функция
f является непрерывной в точке
, а
на интервале
и
на интервале
, то точка
является точкой максимума функции.
Теорема 4. Если функция
f является непрерывной в точке
, а
на интервале
и
на интервале
, то точка
является точкой минимума функции
f.
Теорема 5. Пусть точка
является стационарной для функции
и пусть в этой точке существует производная второго порядка
. Тогда, если
, то
является точкой минимума и, если
, то
является точкой максимума функции
.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции на отрезке
, нужно найти все локальные максимумы (минимумы) и сравнить их со значениями функции, которых она принимает на концах отрезка. Наибольшее (наименьшее) число среди образованной множества и будет наибольшим (наименьшим) значением функции, заданной на отрезке
.
Обозначения:
;
.