Основные свойства непрерывных функций
Теорема 1. Если функции

и

являются непрерывными в точке

, то в этой точке будут непрерывными и функции

,

.
Теорема 2. Если

и

являются непрерывными в точке

и

, то в точке

является непрерывной также и функция

.
Обратите внимание: все дробно-рациональные функции и основные тригонометрические функции являются непрерывными на любом промежутке, в каждой точке которого они определены. График непрерывной функции на таком промежутке является непрерывной линией.
Теорема 3. Пусть функция непрерывна на промежутке

и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда она обращается в нуль хотя бы в одной точке этого промежутка. Если функция

является монотонной на

, то она превращается в 0 только один раз.
Последствия
1) Если функция непрерывна на промежутке

, то она достает на этом промежутке любое значение
M, которое расположено между

и

.
2) Если функция непрерывна на промежутке

и не превращается в нуль внутри этого проміжка, то она имеет один и тот же знак во всех внутренних точках промежутка.
Эти свойства позволяют обосновать метод интервалов, который широко применяется для решения неравенств.