Предел функции

Пусть функция определена на промежутке (возможно, что ). Число A называется пределом функции в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех , и таких, что , выполняется неравенство .
Обозначения: , или .
Пусть - внутренняя точка промежутка .
Функция называется бесконечно малой в точке , если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенство , выполняется неравенство .
Теорема 1. Сумма (разность) двух бесконечно малых функций в данной точке является бесконечно малой функцией в данной точке.
Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое число , что для всех значений x из этого промежутка выполняется неравенство .
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции является функцией бесконечно малой в данной точке.
Теорема 3. Чтобы функция в точке имела пределом число A, необходимо и достаточно, чтобы разность была бесконечно малой функцией в этой точке.
Можно ввести определение, эквивалентное данному ранее. Число A называется пределом функции в точке , если разница между этой функцией и числом A является бесконечно малой функцией в этой точке.