Основные теоремы о пределах числовой последовательности

Теорема 1. Пусть последовательности и имеют соответственно границы a и b. Тогда последовательность имеет предел .
.
Теорема 2. Пусть последовательности и имеют соответственно границы a и b. Тогда последовательность имеет предел, который равен ab:
.
Последствия
1) Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если С - сonst и имеет предел, то .
2) Если , а k - натуральное число, то .
Теорема 3. Пусть последовательности и имеют конечные пределы, которые соответственно равны , , причем . Тогда последовательность имеет конечную границу, которая равна :
.
Последовательность называется ненисходящей (незростаючою), если для любого n Есть N выполняется неравенство .
Неспадні и незростаючі последовательности называют монотонными.
Если значения членов монотонной последовательности для любого n Есть N удовлетворяют строгое неравенство , то последовательность называют возрастающей (убывающей). Возрастающие и убывающие последовательности называют также строго монотонными.
Теорема 4 (Вейерштрасса). Растущая или убывающая ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема 5. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
Примеры пределов последовательностей
1)
.
2)
.
Обратите внимание на такую границу:
.
Число е является основанием натурального логарифма. Обозначения: . Число е является иррациональным, его приближенное значение .
Показательная функция с основанием е называется экспонентой.