Предел числовой последовательности

Число a называется пределом последовательности,, ..., , ..., если для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство
.
Обозначение: , или .
Последовательность , , 2, ... называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε существует натуральное число N такое, что для всех выполняется неравенство .
Обратите внимание: членами бесконечно малой последовательности могут быть очень большие числа.
Например, последовательность является бесконечно малой, но первые ее члены являются достаточно большими числами:
; и т. д.
Теорема. Если , то последовательность является бесконечно малой и наоборот: если последовательность является бесконечно малой, то .
Таким образом, получим эквивалентное определение предела числовой последовательности: число a называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой последовательностью.