УРОК № 13

Тема. Формула Герона

Цель урока: вывод формулы Герона для площади треугольника. Формирование умений учащихся применять выведенную формулу к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Площади треугольников и четырехугольников» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: используют формулу Герона во время решения задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при их выполнении.

Задача 1. Решение

Поскольку квадрат и ромб имеют одинаковые периметры, то их стороны равны. Пусть длина стороны равна а, тогда площадь квадрата равна а2, а площадь ромба a2sinα, где α - угол ромба.

Поскольку sinα 1, то a2sinα а2. Следовательно, площадь ромба меньше площадь квадрата.

Ответ. Квадрат.

Задача 2. Решение

Поскольку в треугольнике ABC (рис. 45) АВ = а, CAB = 45°, то АС = АВ ∙ cos CAB = a ∙ cos45° = a ∙ = .

SΔAВC = AC2 == .

Ответ. .

Задача 3. Решение

Пусть в треугольнике ABC (рис. 46) АС = ВС = 1 м, С = 70°, тогда S = ∙ AC ∙ BC ∙ sinC = ∙ 1 ∙ 1 ∙ sin70° = ∙ sin70° ∙ 0,94 = 0,47 (м2).

Ответ. 0,47 м2.

Математический диктант

1. 1) Найдите площадь прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см.
2. 2) Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 2 см.
3. 3) Найдите площадь правильного треугольника со стороной 2 см.
4. 4) Найдите площадь параллелограмма со сторонами 2 см и см, если угол между сторонами составляет 60°.
5. 5) Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 3 см и 4 см.
6. 6) Найдите площадь треугольника, стороны которого равны см и 3 см, а угол между ними составляет 135°.

Ответы. 1) 6 см2; 2) 3 см2; 3) см2; 4) 3 см2; 5) 6 см2; 6) 1,5 см2.

II. Восприятие и осознание нового материала

Вы научились находить площадь произвольного треугольника с известными:

1. 1) стороной и высотой, проведенной к этой стороне;
2. 2) сторонами и углом между ними.

Сегодня мы ознакомимся с тем, как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны. Эту формулу получил Герон Александрийский древнегреческий ученый, живший в Александрии в i в. н. есть. Известно, что он был ученым-инженером, занимался геодезией и прикладной математикой.

Проведем высоту к наибольшей стороны треугольника ABC (рис. 47). Пусть АС = b - наибольшая сторона этого треугольника, АВ = с, ВС = а, BDAC. Пусть AD = х, тогда DC = b - х. Из прямоугольного треугольника ABD имеем: BD2 = c2 - x2. Из прямоугольного треугольника BCD имеем: BD2 = а2 - (b - x)2. Тогда имеем уравнение с2 - х2 = a2 - (b - х)2, из которого найдем х.

с2 - х2 = а2 - b2 + 2bx - x2; 2bx = c2 + b2 - a2; .

Тогда BD = = = .

Следовательно, S = b ∙ ВD = = = = =

= = = .

Учитывая, что , имеем:

S = =.

Что и требовалось доказать.

Коллективное решение задач

Найдите площадь треугольника по трем сторонам:

а) 17, 65, 80; б) , , 6; в) 15, 37, 47; г) 2, 3, 1,83.

Решение

а) S = = = = 288.

б) .

S = = = 10.

в) .

S = = = 42= = = 193.

г) .

S=== = = = 1,4.

III. Закрепление и осмысление нового материала

Коллективное решение задач

Стороны треугольника равны а, b, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.

Решение

, .

Поскольку S = chc, то hc = = .

Ответ. .

Самостоятельное решение задач

Боковые стороны треугольника равны 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равна: а) 25 см; б) 11 см.

Решение

а) ,

 (см2).

S = ∙ 25 ∙ h, 300 = ∙ 25 h, h = = 24 (см).

Ответ. 24 см.

б) ,

(см2).

S = ∙ 11 ∙ h, 132 = ∙ 11 ∙ h, h = = 24 (см).

Ответ. 24 см.

Коллективное решение задачи

Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.

Решение

Пусть треугольник ABC (рис. 48) равнобедренный, АВ = ВС. Пусть АС = х см, тогда АВ = ВС = (х + 11) см. Поскольку периметр равен 64 см, то имеем:

x + 11 + x + 11 + x = 64; 3х + 22 = 64; 3х = 42; х = 14. Следовательно, АС = 14 см, АВ = ВС = 25 см.

Поскольку == 7 ∙ 4 ∙ 6 = 168 (см2), S = ∙ АВ ∙ h, то h = = = 13,44 (см).

Ответ. 13,44 см.

IV. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. 1. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 5, 5, 6.
2. 2. Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами , , 6.

Вариант 2

1. 1. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 17, 65, 80.
2. 2. Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 13, 37, 47-.

Решение задач самостоятельной работы

Вариант 1

1. = 8, = 12(см2).

S = ∙ 6 h, h = - = = = 4 (см).

Ответ. 4 см.

2. S = 10 см 2. S = ∙ ∙ h, h = = = = 4,8 (см).

Ответ. 4,8 см.

Вариант 2

1. = 81, = 288(см2).

S = ∙ 80 ∙ h, h = = = 7,2 (см).

Ответ. 7,2 см.

2. S = 2 см. S = ∙ 13 ∙ h, h = = = = 29 (см).

Ответ. 29 см.

V. Домашнее задание

Решить задачи.

1. 1. Найдите площадь треугольника по трем сторонам, равны:

а) 13, 14, 15; б) 5, 5, 6.

1. 2. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см, 15 см.
2. 3. Найдите высоту треугольника со сторонами 2, 3, 1,83, проведенная на основание 2.

VI. Подведение итогов урока Задача класса

1. 1. Запишите известные вам формулы для нахождения площади треугольника.
2. 2. Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 3 см, 3 см и 2 см.