УРОК № 12

Тема. Нахождение площади треугольника с двумя сторонами и углом между ними

Цель урока: вывод формулы для нахождения площади треугольника с двумя сторонами и углом между ними. Формирование умений применять выведенную формулу к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Соотношение между сторонами и углами треугольника»[13].

Требования к уровню подготовки учащихся: используют формулу для нахождения площади треугольника с двумя сторонами и углом между ними во время решения задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при выполнении домашнего задания.

Задача 1. Решение

Из треугольника ABC имеем: , .

Учитывая, что B = 180° - A - C = 180° - (α + β), sinВ = sin(180° - (α + β)) = sin(α + β), а также, что sinC = sinβ,

имеем: .

Ответ. .

Задача 2. Решение

; ; ; .

γ = 180° - α - β 180° - 36° - 25° = 119°.

; ; ; .

Ответ, а 16,7, с 24,8, γ 119°.

Самостоятельная работа (6 баллов за каждое задание).

Вариант 1

1. 1. В треугольнике а = 37, β = 70°, γ = 51°. Найдите b, с, α.
2. 2. В треугольнике a = 48, b = 35, γ = 65°. Найдите α, β, с.

Вариант 2

1. 1. В треугольнике а = 24, b = 13, с = 15. Найдите α, β, γ.
2. 2. В треугольнике а = 12, b = 10, α = 40°. Найдите β, γ, с.

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. b 41, стр 34, α 59°.

2. с 47, α 68°, β 47°.

Вариант 2. 1. α 118°, β 28°, γ 34°.

2. β 32°, γ 108°, с 17,8.

II. Повторение и систематизация знаний учащихся

Вопрос к классу

1. 1. Что такое площадь? Сформулируйте свойства площади.
2. 2. Чему равна площадь прямоугольника?
3. 3. Чему равна площадь квадрата со стороной а?
4. 4. Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) уменьшить одну сторону вдвое, а вторую сторону оставить без изменений;

б) каждую сторону увеличить вдвое?

1. 5. Заполните пропуски: 1 км2 = ... м2; 1 м2 = ... см2; 1см2 = ... мм2; 1 га = ... м2; 1 а = ... м2.
2. 6. Чему равна площадь параллелограмма?
3. 7. Чему равна площадь треугольника, если известна его сторона а и высота па, проведенная к ней?

III. Восприятие и осознание нового материала

Изучение теоремы

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух любых сторон на синус угла между ними.

Доведение

Пусть треугольник ABC - данный (рис. 40).

Докажем, что SΔABC = AB ∙ AC ∙ sinA.

Проведем в треугольнике ABC высоту BD. Имеем: SΔABC = AC ∙ BD.

Если угол А острый, то из треугольника ABD имеем: BD = AB ∙ sinα (рис.40,а).

Если угол А прямой, то из треугольника DAB имеем: BD = AB ∙ sin90° = АВ.

Если угол А тупой (рис. 40, б), то BD = AB ∙ sin(180° - α) = AB sinα.

Итак, SΔABC = AB ∙ AC ∙ sinA, что и надо было доказать.

Решение упражнений

1. 1) Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 5 см, а угол между ними 30°.
2. 2) Найдите площадь правильного треугольника со стороной а.

Решение

Поскольку треугольник ABC равносторонний (рис. 41), то АВ = АС = ВС = а, A = B = C = 60°.

Тогда S = AB ∙ AC ∙ sinA = a ∙ a ∙ sin60° = ∙ = .

Ответ. .

Ученикам следует порекомендовать запомнить эту формулу.

IV. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

1. 1. В треугольнике ABC АС = а, ВС = b. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей?

Решение

Поскольку S = AC ∙ BC ∙ sinC = ab sinC, то значение S будет наибольшим, если sinC = 1, т.е. C = 90°, тогда S = ab.

Ответ. 90°.

1. 2. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними: S = ab sinα, где а и b - стороны параллелограмма, а α - угол между ними.
2. 3. Смежные стороны параллелограмма равны 8 см и 6 см, а его острый угол составляет 30°. Найдите площадь параллелограмма. (Ответ. 24см2)
3. 4. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите Площадь ромба. (Ответ. 18 см2)
4. 5. Стороны параллелограмма равны 9 см и 10 см, а площадь составляет 45 см2. Найдите углы параллелограмма. (Ответ. 30° и 150°)
5. 6. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

Решение

Пусть стороны параллелограмма и прямоугольника равны а и b (рис. 42).

S1 = ab sinα, S2 = ab, где S1 - площадь параллелограмма, S2 - площадь прямоугольника, α - острый угол параллелограмма. Учитывая, что = 2, имеем = 2, отсюда sinα = . Следовательно, α = 30°.

Ответ. 30°.

1. 7. Найдите площадь ромба, если его высота равна 10 см, а острый угол составляет 30°.

Решение

Пусть в ромбе ABCD (рис. 43) BFAD, BF = 10 см, BAD = 30°. Из прямоугольного треугольника ABF имеем: (см). Следовательно, площадь ромба: S = AD ∙ BF = 20 ∙ 10 = 200 (см2).

Ответ. 200 см2.

1. 8. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Решение

Пусть ABCD - произвольный выпуклый четырехугольник (рис. 44).

Докажем, что SABCD = AC∙ BD ∙ sinφ, где φ = BOC.

SABCD = SΔBOC + SΔAOB + SΔAOD + SΔDOC = BO ∙ OC ∙ sinφ + АО ∙ H ∙ sin(180° - φ) + АО ∙ DO ∙ sinφ + DO ∙ ОС ∙ sin(180° - φ) =

= BO ∙ OC sinφ + АО ∙ ВО ∙ sinφ + АО ∙ DO ∙ sinφ + DO ∙ OC sinφ = (BO ∙ OC + AO ∙ BO + AO ∙ DO + DO ∙ OC) sinφ =

= (BO ∙ (AO + OC) + DO ∙ (AO + OC)) sinφ = (BO ∙ АС + DВ ∙ АС) sinφ = AC ∙ (BO + DO) sinφ = AC ∙ BD sinφ.

V. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулу для нахождения площади треугольника с двумя сторонами и углом между ними.
2. 2. Решить задачи.
3. 1) Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
4. 2) Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а.
5. 3) Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны по 1 м, а угол между ними составляет 70°.

VI. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

1. 1. Чему равна площадь треугольника, если известна его сторона и высота, проведенная к этой стороне?
2. 2. Чему равна площадь треугольника, если известны две стороны и угол между ними?
3. 3. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты?