Урок 13

Тема. Размещение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости

Цель урока: формирование знаний учащихся о взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Изучение признака параллельности прямой и плоскости.

Оборудование: стереометрический набор, модели куба и тетраэдра, схема «Аксиомы стереометрии».

Ход урока

И. Анализ выполнения тематического оценивания № 1.

II. Проверка домашнего задания

Собрать тетради в конце урока для проверки их ведения и выполнения домашнего задания.

III. Обобщение и систематизация знаний учащихся

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Вопрос к классу.

1) Вспомните и сформулируйте теорему о принадлежности плоскости прямой, две точки которой принадлежат плоскости.

2) Как могут располагаться прямая и плоскость в пространстве?

При обсуждении этого вопроса уместно воспользоваться схемой «Взаимное расположение прямой и плоскости» из урока № 3, с. 21.

IV. Восприятие и осознание нового материала

Понятие прямой, параллельно! плоскости, признак параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: а || a. Наглядное представление о прямой, которая параллельна плоскости, дают линии пересечения стены и потолка - эти линии параллельны плоскости пола. Отрезок называется параллельной плоскости, если он является частью прямой, параллельной плоскости.

Сформулируем и докажем признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема.

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доведение признаки записывается на доске и в тетрадях.

Дано: а || b; b α (рис. 51).

Доказать: а || a.

Доведение

Предположим, что прямая а не принадлежит плоскости a. Тогда а и a имеют общую точку А.

Если А Î b , то а и b имеют общую точку А, что противоречит условию.

Если А Î b , то а и b скрещивающиеся, что противоречит условию.

Следовательно, а || a.

Выполнение упражнений

1. Дано изображение куба АВСD1А1B1C1D1. Докажите, что:

а) прямая АВ параллельна плоскости DСС1;

б) прямая АВ параллельна плоскости DСВ1.

2. В треугольной пирамиде SАВС точки М и N - середины ребер SА и SВ соответствии. Докажите, что МN || (АВС).

3. Даны плоскость a и вне ее точку А. Провести через точку А прямую, параллельную данной плоскости a.

Решение

Анализ. По условию А Î a (рис. 52). Чтобы прямая а, проходящая через точку А, была параллельна плоскости a, достаточно, чтобы она была параллельна прямой b, которая принадлежит плоскости a . Отсюда вытекает план решения:

1) в плоскости a проводим произвольную прямую b;

2) через прямую b и точку А проводим плоскость b;

3) через точку А проводим прямую а: а || b.

Доведение. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости имеем: а || a.

Исследования. Прямая b проведенная в плоскости a произвольно, таких прямых бесконечное множество, следовательно, задача имеет бесконечное множество решений.

4. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Провести плоскость, которая проходит через точку А и параллельная прямой а.

5. Даны параллельные прямые а и b. Провести через прямую а плоскость, которая параллельна прямой b.

6. Задача № 15 из учебника (с. 19).

7. Даны скрещивающиеся прямые а и b и точка С, не лежащая на них. Провести через точку С плоскость, параллельную прямым а и b.

V. Домашнее задание

§ 2, п. 9; контрольные вопросы № 5, 6; задачи .№ 14, 16 (с. 19).

VI. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Как могут располагаться прямая и плоскость в пространстве?

2) Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.