Урок 12

Тема. Тематическое оценивание № 1

Цель урока: проверка знаний учащихся по темам “Введение в стереометрию” и “Взаимное расположение прямых в пространстве”.

Ход урока

Тематическое оценивание № 1 можно провести, учитывая результаты выполнения самостоятельной работы на уроке № 6 и результаты контрольной работы.

1. Тематическая контрольная работа № 1

Вариант А

Вариант 1

1. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Сколько можно провести через точку А: а) плоскостей, содержащих прямую а; б) прямых, которые пересекают прямую а? (3 балла)

2. Докажите, что прямая с, пересекающая две данные параллельные прямые а и b, лежит с ними в одной плоскости. (3 балла)

3. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если ВВ1 = a , AC : BC = m : n. (3 балла).

4. Докажите, что диагонали AC1 и ΒD1 куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (3 балла)

Вариант 2

1. Дано прямую a и точку А на ней. Сколько можно провести через точку А: а) плоскостей, содержащих прямую а; б) прямых, которые параллельны прямой а? (3 балла)

2. Прямые а и b пересекаются, прямая с пересекает прямую а и параллельная прямой b. Докажите, что прямые а, b, с лежат в одной плоскости. (3 балла)

3. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках B1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если ВВ1 = а , АВ : АС = m : n. (3 балла)

4. В тетраедрі SABCвсе ребра которого равны, точки Μ, Ν, K, L - середины ребер AS, BS, BC, AC соответственно. Докажите, что прямые МК и NL пересекаются под прямым углом. (3 балла)

Вариант 3

1. Даны три точки А, В, С, не лежащих на одной прямой. Сколько можно провести: а) плоскостей через точки А, В, С; б) прямых, проходящих через точку А и параллельны прямой BC? (3 балла)

2. Прямую а пересекают прямые b и с, причем b || с . Докажите, что прямые а, b, с лежат в одной плоскости, (3 балла)

3. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка ВВ1, если АВ = a, AC : CC1 = m : n. (3 балла)

4. Точки S, А, В, С не лежат в одной плоскости, точки Μ, Ν, K, L - середины отрезков AS, BS, BC, AC соответственно. Докажите, что отрезки МК и NL пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (3 балла)

Вариант 4

1. Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Сколько можно провести: а) плоскостей через точки А, В, С; б) прямых через точку В, параллельно прямой АС? (3 балла)

2. Прямые а и b параллельны, прямая с пересекает прямую а, но не пересекает прямую b. Докажите, что прямые с и b скрещивающиеся. (3 балла)

3. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках В1 и С1. Найдите АВ, если ВВ1 = а, ВС = b, СС1 = с. (Баллы)

4. Докажите, что диагонали АС1, ΒD1, СА1, DВ1 куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в одной точке. (3 балла)

Ответ. Вариант 1. 3.. Вариант 2. 3..Варіант 3. 3.. Вариант 4. 3..

Вариант Б

Вариант 1

1. Постройте изображение куба ABCDA1B1C1D1. (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых АС и А1C1 ? (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых АВ и СВ1 ? (2 балла)

2. Можно ли провести через точку пересечения диагоналей прямоугольника прямую, которая не пересекает его стороны? Ответ обоснуйте. (3 балла)

3. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, а точки К, L, Μ, Ν - середины отрезков AD, DC, ВС, АВ соответственно. Докажите, что прямые KM и NL пересекаются. (3 балла)

Вариант 2

1. Постройте изображение треугольной пирамиды SABC. (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых AS и ВС? (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых AS и BS? (2 балла)

2. Можно ли через вершину треугольника провести прямую, которая не лежит в его плоскости? Ответ обоснуйте. (3 балла)

3. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, а точки К, L, Μ, Ν - середины отрезков AD, DC, ВС, АВ соответственно. Докажите, что точка А не принадлежит плоскости KLM. (3 балла)

Вариант 3

1. Постройте изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых BD и АС1? (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых BD и B1D1? (2 балла)

2. Прямые а и b пересекаются. Точки А и В принадлежат прямой а, а точка С - прямой b. Относятся ли прямые α и b плоскости АВС? Ответ обоснуйте. (3 балла)

3. На трех прямых, которые лежат в плоскости α, взяты соответственно три точки А, В, С, которые принадлежат плоскости β . Докажите, что точка С лежит на прямой АВ. (3 балла)

Вариант 4

1. Постройте изображение треугольника пирамиды SABC. (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых BS и АС? (2 балла)

Каково взаимное расположение прямых CS и СА? (2 балла)

2. Три точки А, В, С принадлежат плоскости α, а точка D ей не принадлежит. Может ли четырехугольник ABCD быть трапецией? Обоснуйте ответ. (3 балла)

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой b. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β в точке М. Докажите, что точка A лежит на прямой b. (3 балла)

Тематическое оценивание № 1 можно провести с помощью теста, текст которого приводится ниже.

При оценивании выполнения тестов учитываются только те шесть из выполненных заданий, которым соответствует наибольшее количество баллов. Если ученик набрал в сумме нецілу количество баллов, результат округляется в сторону увеличения, если ученик набрал 12 баллов, он получил оценку 12.

Тест

Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Цель данного теста - проверить, умеет ли учащийся:

- изображать и находить на рисунках прямые и плоскости;

- применять аксиомы стереометрии и следствия из них к решению задач;

- изображать и находить на рисунках параллельные, скрещивающиеся прямые и прямые, которые пересекаются.

Вариант 1

И уровень

1. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 42). Какие из перечисленных точек принадлежат плоскости АВС? (1 балл)

а) А1;

б) B1;

в) D;

г) D1.

2. Дано изображение тетраэдра SABC (рис. 43). Каково взаимное расположение прямых А8 и SC? (1 балл)

а) Пересекаются;

б) параллельны;

в) скрещивающиеся;

г) определить невозможно.

3. Дано изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 44). Из указанных плоскостей определяют прямые АС и СС1 ? (1 балл)

а) АВС;

б) СС1В;

в) АСА1;

г) BDC.

II уровень

1. Точки А и В лежат в плоскости α , а точка С - вне ее (рис. 45). Какие из приведенных утверждений верны? (1 балл)

а) Прямая АС не пересекает плоскость α;

б) прямая ВС не пересекает плоскость α;

в) прямые АВ и ВС не пересекаются;

г) прямые АВ и АС пересекаются.

2. Сколько различных плоскостей можно провести через три точки, если они не лежат на одной прямой? (1 балл)

а) Одну;

б) две;

в) множество;

г) ни одной.

3. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости (рис. 46). По какой прямой пересекаются плоскости АВС и ABD ? (1 балл)

а) АВ;

б) ВС;

в) CD;

г) AD.

III уровень

1. Прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости. Какие из приведенных утверждений верны? (2 балла)

а) Точки А, В, С не лежат в одной плоскости;

б) точки А, В, С не лежат на одной прямой;

в) точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости;

г) прямые АВ и CD пересекаются.

2. Отрезки АВ, SB, SD, AC пересекают плоскость α. Которые еще с указанных отрезков пересекают плоскость α? (2 балла)

a) AS;

б) AD;

в) ВС;

г) SC.

3. Три прямые попарно пересекаются. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей? (2 балла)

а) Одну;

б) две;

в) три;

г) множество.

IV уровень

1. Прямые а и b, b и с, а и с пересекаются, и точки их пересечения не совпадают. Какие из этих утверждений верны? (3 балла)

а) Прямые а, b, с проходят через одну точку;

б) точки пересечения прямых лежат на одной прямой;

в) прямые а, b, с лежат в одной плоскости;

г) прямые а, b, с не лежат в одной плоскости.

2. В пространстве даны шесть точек и через каждые две из них проведены прямые. Какое наибольшее число прямых можно провести? (3 балла)

а) 30;

б) 15;

в) 12;

г) 18.

3. Дано n точек в пространстве (n > 4), Какие из приведенных утверждений верны? (3 балла)

а) Всегда существует плоскость, в которой находятся все n точек;

б) существует плоскость, в которой не лежит ни одна из n точек;

в) всегда существует прямая, которая содержит все n точек;

г) существует прямая, которая не содержит ни одной из n точек.

Вариант 2

И уровень

1. Дано изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 47). Какие из указанных плоскостей, проходящих через прямую АВ и точку С? (1 балл)

а) АВА1;

б) ABD;

в) ВСС1;

г) ADD1.

2. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 48). Каково взаимное расположение прямых ВС и DD1? (1 балл)

а) Пересекаются;

б) параллельны;

в) скрещивающиеся;

г) определить невозможно.

3. Дано изображение тетраэдра SABC (рис. 49). Какая из указанных точек является точкой пересечения прямой SA с плоскостью АВС? (1 балл)

a) S;

б) В;

в) С;

г) А.

II уровень

1. Прямая ВС лежит в плоскости α, а точка А - вне плоскости α (рис. 50). Какие из приведенных утверждений верны? (1 балл)

а) Прямая АВ не имеет общих точек с плоскостью α;

б) прямая АС пересекает плоскость α;

в) прямые АС и ВС не пересекаются;

г) точки А, В, С не лежат в одной плоскости.

2. Сколько различных плоскостей можно провести через прямую а и точку А, лежащую на прямой а? (1 балл)

а) Одну;

б) две;

в) множество;

г) ни одной.

3. Прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости. По какой прямой пересекаются плоскости ABD и BCD? (1 балл)

а) АВ;

б) CD;

в) BD;

г) AD.

II уровень

1. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Какие из приведенных утверждений верны? (2 балла)

а) Точки А, В, С не лежат в одной плоскости;

б) прямые АС и BD пересекаются;

в) прямые АС и BD не пересекаются;

г) точки А, В, С не лежат на одной прямой.

2. Отрезки АВ, AC, SB и BD пересекают плоскость α. Которые еще с указанных отрезков пересекают плоскость α? (2 балла)

а) ВС;

6) CD;

в) AD;

г) SD.

3. Сколько плоскостей определяют четыре точки, которые не лежат в одной плоскости? (2 балла)

а) Две;

б) три;

в) четыре;

г) множество.

IV уровень

1. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Прямые с и а пересекают каждую из прямых a и b. Какие из этих утверждений верны? (3 балла)

а) Прямые a и с не лежат в одной плоскости;

б) прямые b и с не лежат в одной плоскости;

в) прямые с и d лежат в одной плоскости;

г) прямые с и d могут пересекаться.

2. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит хотя бы три вершины куба? (3 балла)

а) 6;

б) 13;

в) 20;

г) 27.

3. Дано n точек (n > 4), каждые четыре из которых лежат в одной плоскости. Какие из приведенных утверждений верны? (3 балла)

а) Все n точек лежат на одной прямой;

б) все n точек лежат в одной плоскости;

в) все n точек не лежат в одной плоскости;

г) все n точек совпадают.

Ответы к тестовым заданиям

II. Домашнее задание

Если в классе выполнялась тематическая контрольная работа № 1, то дома можно предложить выполнить тест, и наоборот.

III. Подведение итога урока

В ходе беседы с учащимися выяснить, какие задания вызвали трудности, и ответить на вопросы учеников.